Distribución normal de alturas

**A) [1 PUNTO] Calcule la probabilidad de que en dicha población la altura de un niño de 17 años esté entre $170\text{ cm}$ y $180\text{ cm}$.** Primero definimos la variable aleatoria $X$ que representa la altura de los niños de 17 años en la población: $$X \sim N(\mu, \sigma) \implies X \sim N(175, \, 7,41)$$ Donde: - Media: $\mu = 175\text{ cm}$ - Desviación típica: $\sigma = 7,41$ Para calcular probabilidades en una distribución normal, debemos realizar un cambio de variable llamado **tipificación**, para pasar de nuestra variable $X$ a la variable normal estándar $Z \sim N(0, 1)$. 💡 **Tip:** La fórmula para tipificar es $Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma}$.

Queremos calcular la probabilidad de que la altura esté entre $170$ y $180$, es decir, $P(170 \le X \le 180)$. Tipificamos los valores del intervalo: - Para $x_1 = 170$: $z_1 = \dfrac{170 - 175}{7,41} = \dfrac{-5}{7,41} \approx -0,67$ - Para $x_2 = 180$: $z_2 = \dfrac{180 - 175}{7,41} = \dfrac{5}{7,41} \approx 0,67$ Por tanto, la probabilidad buscada es: $$P(170 \le X \le 180) = P(-0,67 \le Z \le 0,67)$$ 💡 **Tip:** Al redondear a dos decimales, asegúrate de seguir las reglas habituales para el uso de las tablas de la normal estándar.

Utilizamos las propiedades de simetría de la distribución normal: $$P(-0,67 \le Z \le 0,67) = P(Z \le 0,67) - P(Z \le -0,67)$$ Como la curva es simétrica, $P(Z \le -0,67) = 1 - P(Z \le 0,67)$, luego: $$P(Z \le 0,67) - (1 - P(Z \le 0,67)) = 2 \cdot P(Z \le 0,67) - 1$$ Buscamos el valor $0,67$ en la tabla de la normal $N(0,1)$: $$P(Z \le 0,67) \approx 0,7486$$ Sustituimos: $$2 \cdot 0,7486 - 1 = 1,4972 - 1 = 0,4972$$ ✅ **Resultado (Apartado A):** $$\boxed{P(170 \le X \le 180) = 0,4972 \, (49,72\%)}$$

**B) [1,5 PUNTOS] ¿A partir de que altura un niño de 17 años de dicha población se encontraría dentro del $5\%$ de niños de 17 años más altos de dicha población?** El enunciado nos pide encontrar un valor de altura $h$ tal que la probabilidad de que un niño sea más alto que $h$ sea del $5\%$. Esto se expresa como: $$P(X \gt h) = 0,05$$ Para poder usar las tablas habituales de la normal (que dan áreas a la izquierda), trabajamos con el suceso complementario: $$P(X \le h) = 1 - 0,05 = 0,95$$ Esto significa que buscamos el valor de altura que deja por debajo al $95\%$ de la población.

Tipificamos el valor desconocido $h$: $$P\left( Z \le \frac{h - 175}{7,41} \right) = 0,95$$ Llamamos $z_0 = \dfrac{h - 175}{7,41}$. Buscamos en el interior de la tabla de la normal estándar el valor de probabilidad más cercano a $0,95$. Observamos que: - Para $z = 1,64$, la probabilidad es $0,9495$. - Para $z = 1,65$, la probabilidad es $0,9505$. Tomamos el valor intermedio exacto (o el más cercano según el criterio de clase): $$z_0 = 1,645$$ 💡 **Tip:** En el caso de $0,95$ y $0,99$, es muy común usar tres decimales ($1,645$ y $2,575$) por su alta frecuencia de uso.

Ahora deshacemos el cambio de variable para hallar $h$: $$1,645 = \frac{h - 175}{7,41}$$ $$h - 175 = 1,645 \cdot 7,41$$ $$h - 175 = 12,18945$$ $$h = 175 + 12,18945 = 187,18945\text{ cm}$$ Redondeando a dos decimales, obtenemos la altura mínima para pertenecer al $5\%$ de los más altos. ✅ **Resultado (Apartado B):** $$\boxed{h \approx 187,19 \text{ cm}}$$