Posición relativa de rectas y planos en el espacio

**a) [1 PUNTO] Calcule la posición relativa de las dos rectas.** Para determinar la posición relativa entre dos rectas, primero debemos obtener un punto y un vector director de cada una de ellas. Analizamos la recta $r$: $$r : \begin{cases} 3x - y = 5 \\ z = 0 \end{cases}$$ Podemos obtener su forma paramétrica haciendo $x = t$: - $y = 3t - 5$ - $z = 0$ De aquí extraemos: - Vector director: $\vec{v}_r = (1, 3, 0)$ - Punto de la recta: $P_r(0, -5, 0)$ 💡 **Tip:** Si una recta viene dada como intersección de dos planos, su vector director también puede hallarse mediante el producto vectorial de los vectores normales de dichos planos.

Analizamos la recta $s$: $$s : \begin{cases} 6x - 2y = 1 \\ z = 0 \end{cases}$$ Despejamos $y$ de la primera ecuación: $2y = 6x - 1 \Rightarrow y = 3x - \frac{1}{2}$. Hacemos $x = \lambda$ para obtener las paramétricas: - $x = \lambda$ - $y = 3\lambda - \frac{1}{2}$ - $z = 0$ De aquí extraemos: - Vector director: $\vec{v}_s = (1, 3, 0)$ - Punto de la recta: $P_s(0, -1/2, 0)$

Comparamos los vectores directores y la incidencia de puntos: 1. **Vectores directores:** Observamos que $\vec{v}_r = (1, 3, 0)$ y $\vec{v}_s = (1, 3, 0)$. Al ser iguales (o proporcionales), las rectas son **paralelas o coincidentes**. 2. **Comprobación de coincidencia:** Veamos si el punto $P_r(0, -5, 0)$ pertenece a la recta $s$. Sustituimos en sus ecuaciones implícitas: $$6(0) - 2(-5) = 1 \Rightarrow 10 = 1 \quad (\text{Falso})$$ Como el punto de $r$ no pertenece a $s$ y los vectores son paralelos, concluimos que las rectas son paralelas y no tienen puntos en común. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Las rectas } r \text{ y } s \text{ son paralelas y distintas}}$$

**b) [0,5 PUNTO] De la ecuación del plano que contiene a ambas rectas.** Dos rectas paralelas definen un único plano. Para hallar su ecuación, observamos las ecuaciones de definición de las rectas: Ambas rectas $r$ y $s$ tienen como condición común la ecuación **$z = 0$**. Esto implica que todos los puntos de la recta $r$ y todos los puntos de la recta $s$ tienen su coordenada $z$ nula, por lo que están contenidos en el plano coordenado $XY$. 💡 **Tip:** El plano que contiene a dos rectas paralelas se puede obtener también usando un punto de una recta y dos vectores: el director de las rectas y el vector que une un punto de $r$ con un punto de $s$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{z = 0}$$ *(Nota: Es el plano XY)*

**c) [1 PUNTO] De la ecuación de un plano ortogonal a la recta $r$.** Para que un plano $\pi$ sea ortogonal a una recta $r$, el **vector normal del plano** $\vec{n}_{\pi}$ debe ser paralelo al **vector director de la recta** $\vec{v}_r$. Tomamos como vector normal del plano el vector director hallado en el apartado a): $$\vec{n}_{\pi} = \vec{v}_r = (1, 3, 0)$$ La ecuación general de un plano es $Ax + By + Cz + D = 0$. Sustituimos los coeficientes $A, B, C$ por las componentes del vector normal: $$1 \cdot x + 3 \cdot y + 0 \cdot z + D = 0 \Rightarrow x + 3y + D = 0$$ Como el enunciado pide "un" plano (uno cualquiera), podemos asignar a $D$ cualquier valor real. Si elegimos $D = 0$: ✅ **Resultado:** $$\boxed{x + 3y = 0}$$