Primitiva y área de la función seno

**A) [0,75 PUNTOS] Calcule una primitiva de $f(x)$.** Una primitiva de una función $f(x)$ es otra función $F(x)$ tal que $F'(x) = f(x)$. Para hallarla, realizamos la integral indefinida: $$F(x) = \int \sin(x) \, dx = -\cos(x) + C$$ Como el enunciado nos pide "una" primitiva, podemos elegir cualquier valor para la constante de integración $C$. Tomamos, por sencillez, $C = 0$. 💡 **Tip:** Recuerda que las derivadas e integrales de las funciones trigonométricas básicas son cíclicas. Si la derivada del $\cos(x)$ es $-\sin(x)$, entonces la integral del $\sin(x)$ debe ser $-\cos(x)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{F(x) = -\cos(x)}$$

**B) [1,75 PUNTOS] Calcule el área del recinto del plano limitado por $f(x)$ y el eje OX de abscisas para $x \in [0, 2\pi]$.** Para calcular el área, primero debemos identificar en qué puntos la función corta al eje OX (donde $f(x) = 0$) dentro del intervalo dado $[0, 2\pi]$, ya que la función puede cambiar de signo y el área siempre debe ser positiva. $$\sin(x) = 0 \implies x = 0, \quad x = \pi, \quad x = 2\pi$$ Estos puntos dividen nuestro intervalo de integración en dos regiones: 1. De $0$ a $\pi$ (donde el seno es positivo). 2. De $\pi$ a $2\pi$ (donde el seno es negativo). 💡 **Tip:** El área total se define como la integral del valor absoluto de la función: $A = \int_{a}^{b} |f(x)| \, dx$.

El área total $A$ será la suma de las áreas de cada recinto. Calculamos la integral en cada intervalo aplicando la Regla de Barrow. **Región 1: $[0, \pi]$** $$A_1 = \int_{0}^{\pi} \sin(x) \, dx = [-\cos(x)]_{0}^{\pi}$$ $$A_1 = (-\cos(\pi)) - (-\cos(0)) = (-(-1)) - (-1) = 1 + 1 = 2 \text{ u}^2$$ **Región 2: $[\pi, 2\pi]$** Como la función es negativa en este intervalo, el valor de la integral será negativo, por lo que tomamos el valor absoluto para obtener el área: $$A_2 = \left| \int_{\pi}^{2\pi} \sin(x) \, dx \right| = \left| [-\cos(x)]_{\pi}^{2\pi} \right|$$ $$A_2 = |(-\cos(2\pi)) - (-\cos(\pi))| = |(-1) - (-(-1))| = |-1 - 1| = |-2| = 2 \text{ u}^2$$ 💡 **Tip:** La Regla de Barrow dice que $\int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) - F(a)$, donde $F$ es una primitiva de $f$.

Sumamos las áreas obtenidas en cada uno de los recintos: $$Area_{Total} = A_1 + A_2 = 2 + 2 = 4 \text{ u}^2$$ Gráficamente, podemos observar la simetría de la función seno, donde el área por encima del eje en el primer semiperiodo es idéntica al área por debajo del eje en el segundo semiperiodo. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{Area = 4 \text{ u}^2}$$