Rango e inversa de una matriz con parámetros

**a) [0,75 PUNTOS] Calcule el rango de $A$ para los distintos valores del parámetro $b \in \mathbb{R}$.** El rango de una matriz es el número de filas o columnas linealmente independientes. Para una matriz de dimensión $2 \times 2$, el rango puede ser 1 o 2 (ya que tiene elementos no nulos). El primer paso es calcular el determinante de la matriz $A$ en función del parámetro $b$: $$\det(A) = |A| = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & b \end{vmatrix} = (1 \cdot b) - (2 \cdot 2) = b - 4$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para una matriz cuadrada, el rango es máximo si y solo si su determinante es distinto de cero.

Analizamos los casos según el valor del determinante calculado: * **Si $b - 4 = 0 \implies b = 4$:** El determinante es cero. La matriz queda como $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$. Observamos que la segunda fila es proporcional a la primera ($F_2 = 2F_1$), por lo que solo hay una fila linealmente independiente. $$\boxed{\text{Si } b = 4, \text{rg}(A) = 1}$$ * **Si $b - 4 \neq 0 \implies b \neq 4$:** El determinante es distinto de cero. Esto garantiza que las dos filas son linealmente independientes, por lo que la matriz tiene rango máximo. $$\boxed{\text{Si } b \neq 4, \text{rg}(A) = 2}$$

**b) [0,75 PUNTOS] Determine para qué valores de $b \in \mathbb{R}$ la matriz $A$ tiene inversa.** Una matriz cuadrada $A$ es invertible (tiene inversa) si y solo si es regular, es decir, su determinante es distinto de cero ($\det(A) \neq 0$). Utilizando el resultado del apartado anterior: $$\det(A) = b - 4$$ Para que exista $A^{-1}$, necesitamos: $$b - 4 \neq 0 \implies b \neq 4$$ 💡 **Tip:** La invertibilidad está directamente ligada al rango máximo. Si $\text{rg}(A) = n$ (donde $n$ es el orden de la matriz), entonces existe la inversa. ✅ **Resultado:** $$\boxed{b \in \mathbb{R} \setminus \{4\}}$$

**c) [1 PUNTO] Sea $B$ el conjunto formado por los $b \in \mathbb{R}$ tales que $A$ tiene inversa. Calcule la inversa de $A$ para los diferentes valores del parámetro $b \in B$.** El conjunto $B$ es $\{b \in \mathbb{R} \mid b \neq 4\}$. Para calcular la inversa de una matriz $2 \times 2$ de la forma $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$, podemos usar la fórmula directa: $$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$$ Sustituimos los elementos de nuestra matriz $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & b \end{pmatrix}$ y su determinante $|A| = b - 4$: $$A^{-1} = \frac{1}{b - 4} \begin{pmatrix} b & -2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Para calcular la inversa de forma general, se usa $A^{-1} = \frac{1}{|A|} (Adj(A))^t$. En matrices $2 \times 2$, esto equivale a intercambiar los elementos de la diagonal principal y cambiar el signo de los de la diagonal secundaria. Podemos expresar el resultado final con cada elemento dividido por el determinante: $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} \dfrac{b}{b-4} & \dfrac{-2}{b-4} \\ \dfrac{-2}{b-4} & \dfrac{1}{b-4} \end{pmatrix} \quad \forall b \neq 4}$$