Probabilidad y Estadística 2023 Cantabria
Análisis de probabilidad de un test de detección de drogas
Cierto test determina si una persona consume cierto tipo de droga. En el $99\%$ de los casos, el test clasifica como usuario de la droga a aquellos que la han consumido y también en el $99\%$ de los casos, el test clasifica como no usuarios de la droga a aquellos que no la han consumido. Además, el $0,5\%$ de las personas a las que se les va a pasar el test consumen la droga.
A) [1 PUNTO] ¿Cuál es la probabilidad de que las personas a las que se les va a pasar el test no consuman la droga?
B) [1,5 PUNTOS] ¿Cuál es la probabilidad de que una persona consuma la droga si ha dado positivo en el test?
Paso 1
Definición de sucesos y construcción del árbol de probabilidad
Para resolver este problema, primero definimos los sucesos que intervienen basándonos en el enunciado:
* $C$: La persona **consume** la droga.
* $\bar{C}$: La persona **no consume** la droga.
* $+$: El test da resultado **positivo**.
* $-$: El test da resultado **negativo**.
Extraemos los datos del enunciado y los convertimos a valores decimales:
* $P(C) = 0,5\% = 0,005$ (Prevalencia).
* $P(+|C) = 99\% = 0,99$ (Sensibilidad del test).
* $P(-|\bar{C}) = 99\% = 0,99$ (Especificidad del test).
Con esta información, elaboramos el árbol de probabilidad:
💡 **Tip:** En un árbol de probabilidad, la suma de las ramas que salen de un mismo nodo siempre debe ser 1.
Paso 2
Cálculo de la probabilidad de no consumir
**A) [1 PUNTO] ¿Cuál es la probabilidad de que las personas a las que se les va a pasar el test no consuman la droga?**
Nos piden hallar $P(\bar{C})$. Como no consumir la droga es el suceso contrario a consumirla, utilizamos la propiedad del complementario:
$$P(\bar{C}) = 1 - P(C)$$
Sustituimos el valor conocido:
$$P(\bar{C}) = 1 - 0,005 = 0,995$$
Para expresarlo en porcentaje:
$$0,995 \cdot 100 = 99,5\%$$
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(\bar{C}) = 0,995 \text{ (o } 99,5\%)}$$
Paso 3
Cálculo de la probabilidad total de dar positivo
**B) [1,5 PUNTOS] ¿Cuál es la probabilidad de que una persona consuma la droga si ha dado positivo en el test?**
Para responder a esta pregunta necesitamos el **Teorema de Bayes**, pero primero debemos calcular la probabilidad total de dar positivo, $P(+)$, utilizando el **Teorema de la Probabilidad Total**.
El test da positivo en dos escenarios: si la persona consume y el test acierta, o si la persona no consume y el test falla (falso positivo).
$$P(+) = P(C) \cdot P(+|C) + P(\bar{C}) \cdot P(+|\bar{C})$$
Sabemos que $P(+|\bar{C}) = 1 - P(-|\bar{C}) = 1 - 0,99 = 0,01$.
Calculamos:
$$P(+) = (0,005 \cdot 0,99) + (0,995 \cdot 0,01)$$
$$P(+) = 0,00495 + 0,00995 = 0,0149$$
💡 **Tip:** El Teorema de la Probabilidad Total nos permite calcular la probabilidad de un evento final sumando todas las 'rutas' del árbol que terminan en dicho evento.
Paso 4
Aplicación del Teorema de Bayes para la probabilidad condicionada
Ahora aplicamos el **Teorema de Bayes** para hallar la probabilidad de que la persona consuma dado que el test es positivo, $P(C|+)$:
$$P(C|+) = \frac{P(C) \cdot P(+|C)}{P(+)}$$
Sustituimos los valores obtenidos anteriormente:
$$P(C|+) = \frac{0,00495}{0,0149} \approx 0,332214$$
Redondeando a cuatro decimales:
$$P(C|+) \approx 0,3322$$
Esto significa que, a pesar de que el test es muy fiable ($99\%$), si una persona da positivo, solo hay aproximadamente un $33,22\%$ de probabilidad de que realmente consuma la droga. Esto ocurre porque la droga es consumida por un porcentaje muy bajo de la población.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(C|+) \approx 0,3322 \text{ (o } 33,22\%)}$$