Ecuaciones paramétricas de la recta en el espacio

**A) [1,5 PUNTOS] Escriba las ecuaciones paramétricas de las rectas que pasan por el punto $(2, -1, 0)$. Es decir, de aquellas que tienen vector director $(v_1, v_2, v_3)$, donde $v_1, v_2, v_3 \in \mathbb{R}$ son parámetros.** Para definir una recta en el espacio necesitamos un punto $P(x_0, y_0, z_0)$ y un vector director $\vec{v} = (v_1, v_2, v_3)$. La ecuación paramétrica de la recta se expresa como: $$\begin{cases} x = x_0 + \lambda v_1 \\ y = y_0 + \lambda v_2 \\ z = z_0 + \lambda v_3 \end{cases}$$ Donde $\lambda \in \mathbb{R}$ es el parámetro que nos permite recorrer todos los puntos de la recta. 💡 **Tip:** Recuerda que un solo punto y una dirección (vector) determinan unívocamente una recta en el espacio tridimensional.

Sustituimos el punto dado $P(2, -1, 0)$ y el vector genérico $\vec{v}(v_1, v_2, v_3)$ en la estructura anterior: $$\begin{cases} x = 2 + \lambda v_1 \\ y = -1 + \lambda v_2 \\ z = 0 + \lambda v_3 \end{cases}$$ Como el enunciado indica que las componentes del vector director $v_1, v_2, v_3$ son parámetros, estas ecuaciones representan el haz de rectas que pasan por el punto $(2, -1, 0)$. Simplificando la coordenada $z$: ✅ **Resultado del apartado A:** $$\boxed{\begin{cases} x = 2 + \lambda v_1 \\ y = -1 + \lambda v_2 \\ z = \lambda v_3 \end{cases}}$$

**B) [1 PUNTO] De las rectas anteriores, escriba las ecuaciones paramétricas de la recta que tiene vector director $(-1, 4, 1)$.** En este apartado, se nos da un vector director concreto: $\vec{v} = (-1, 4, 1)$. Esto implica asignar los siguientes valores a las componentes paramétricas del apartado anterior: - $v_1 = -1$ - $v_2 = 4$ - $v_3 = 1$ Sustituimos estos valores en las ecuaciones paramétricas halladas: $$\begin{cases} x = 2 + \lambda(-1) \\ y = -1 + \lambda(4) \\ z = \lambda(1) \end{cases}$$ Simplificando las expresiones obtenemos la solución final. 💡 **Tip:** Aunque el parámetro suele llamarse $\lambda$, en algunos libros también se usa $t$ o $k$. Lo importante es especificar que pertenece a los números reales ($\lambda \in \mathbb{R}$). ✅ **Resultado del apartado B:** $$\boxed{\begin{cases} x = 2 - \lambda \\ y = -1 + 4\lambda \\ z = \lambda \end{cases}}$$