Estudio de una función racional

**A) [0,5 PUNTOS] Calcule el dominio de definición de $f(x)$.** La función $f(x) = \frac{x + 1}{x - 2}$ es una función racional. El dominio de una función racional está formado por todos los números reales, excepto aquellos que anulan el denominador, ya que la división por cero no está definida. Igualamos el denominador a cero: $$x - 2 = 0 \implies x = 2$$ Por tanto, el dominio es todo el conjunto de los números reales menos el valor $2$. 💡 **Tip:** Para funciones racionales, recuerda siempre identificar los valores que hacen que el denominador sea $0$; esos puntos no pertenecen al dominio y suelen ser candidatos a asíntotas verticales. ✅ **Resultado:** $$\boxed{Dom(f) = \mathbb{R} \setminus \{2\}}$$

**B) [0,75 PUNTOS] Determine si hay intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $f(x)$. En caso afirmativo, calcúlelos.** Para estudiar el crecimiento y decrecimiento (monotonía), calculamos la primera derivada $f'(x)$ utilizando la regla del cociente: $$f'(x) = \frac{(x+1)'(x-2) - (x+1)(x-2)'}{(x-2)^2}$$ $$f'(x) = \frac{1 \cdot (x-2) - (x+1) \cdot 1}{(x-2)^2}$$ $$f'(x) = \frac{x - 2 - x - 1}{(x-2)^2} = \frac{-3}{(x-2)^2}$$ 💡 **Tip:** La regla del cociente es $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. En este caso $u = x+1$ y $v = x-2$.

Analizamos el signo de $f'(x) = \frac{-3}{(x-2)^2}$ para determinar la monotonía: 1. El numerador es $-3$, que siempre es negativo. 2. El denominador es $(x-2)^2$, que siempre es positivo para cualquier $x$ en el dominio ($x \neq 2$). Como un número negativo dividido por uno positivo es siempre negativo, se cumple que: $$f'(x) \lt 0 \text{ para todo } x \in Dom(f)$$ Esto indica que la función es **estrictamente decreciente** en todo su dominio. No existen intervalos de crecimiento. $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, 2) & 2 & (2, +\infty) \\ \hline f'(x) & - & \nexists & - \\ \text{Monotonía} & \text{Decreciente} & \nexists & \text{Decreciente} \end{array}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Decreciente en: } (-\infty, 2) \cup (2, +\infty)}$$

**C) [0,5 PUNTOS] Calcule los cortes de $f(x)$ con los ejes.** **1. Corte con el eje OX (donde $y = 0$):** Igualamos la función a cero: $$\frac{x + 1}{x - 2} = 0 \implies x + 1 = 0 \implies x = -1$$ El punto de corte es **$(-1, 0)$**. **2. Corte con el eje OY (donde $x = 0$):** Evaluamos la función en $x = 0$: $$f(0) = \frac{0 + 1}{0 - 2} = -\frac{1}{2}$$ El punto de corte es **$(0, -0.5)$**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Eje OX: } (-1, 0) \quad \text{Eje OY: } (0, -0.5)}$$

**D) [0,75 PUNTOS] Determine los intervalos de concavidad y convexidad de $f(x)$.** Para estudiar la curvatura, calculamos la segunda derivada $f''(x)$ partiendo de $f'(x) = -3(x-2)^{-2}$: $$f''(x) = -3 \cdot (-2) \cdot (x-2)^{-3} \cdot (x-2)' = 6(x-2)^{-3} = \frac{6}{(x-2)^3}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si $f''(x) \gt 0$, la función es convexa (cóncava hacia arriba) y si $f''(x) \lt 0$, es cóncava (cóncava hacia abajo).

Estudiamos el signo de $f''(x) = \frac{6}{(x-2)^3}$ en los intervalos definidos por el punto donde la derivada no existe ($x = 2$): $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, 2) & 2 & (2, +\infty) \\ \hline 6 & + & + & + \\ (x-2)^3 & - & 0 & + \\ \hline f''(x) & - & \nexists & + \\ \text{Curvatura} & \text{Cóncava} (\cap) & \nexists & \text{Convexa} (\cup) \end{array}$$ * En $(-\infty, 2)$: $f''(x) \lt 0$, por lo tanto es **cóncava**. * En $(2, +\infty)$: $f''(x) \gt 0$, por lo tanto es **convexa**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Cóncava: } (-\infty, 2) \quad \text{Convexa: } (2, +\infty)}$$