Operaciones con matrices: traspuesta, combinaciones lineales y producto

**A) [0,5 PUNTOS] Calcule $A^t$, donde $A^t$ denota la traspuesta de la matriz $A$.** La traspuesta de una matriz se obtiene intercambiando sus filas por columnas (o viceversa). Es decir, el elemento que ocupa la posición $(i, j)$ en $A$ pasará a ocupar la posición $(j, i)$ en $A^t$. Dada la matriz $A$: $$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 2 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & -1 \end{pmatrix}$$ Transformamos la primera fila en la primera columna, la segunda fila en la segunda columna y la tercera fila en la tercera columna: $$A^t = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ -1 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & -1 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si una matriz es de dimensión $m \times n$, su traspuesta será de dimensión $n \times m$. En este caso, al ser una matriz cuadrada $3 \times 3$, la dimensión no varía. ✅ **Resultado:** $$\boxed{A^t = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ -1 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & -1 \end{pmatrix}}$$

**B) [2 PUNTOS] Calcule $(3B - 2C)(A^t - I)$, donde $I$ es la matriz identidad de dimensión $3 \times 3$.** Para resolver la expresión, primero calcularemos el primer paréntesis: $(3B - 2C)$. Multiplicamos $B$ por $3$ y $C$ por $2$: $$3B = 3 \cdot \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 3 & 0 \\ -3 & 6 & 3 \end{pmatrix}$$ $$2C = 2 \cdot \begin{pmatrix} -1 & 2 & 1 \\ 3 & -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 4 & 2 \\ 6 & -2 & 4 \end{pmatrix}$$ Ahora restamos ambas matrices elemento a elemento: $$(3B - 2C) = \begin{pmatrix} 6 - (-2) & 3 - 4 & 0 - 2 \\ -3 - 6 & 6 - (-2) & 3 - 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & -1 & -2 \\ -9 & 8 & -1 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** La suma y resta de matrices solo se puede realizar si estas tienen la misma dimensión. En este caso, ambas son $2 \times 3$. $$\boxed{3B - 2C = \begin{pmatrix} 8 & -1 & -2 \\ -9 & 8 & -1 \end{pmatrix}}$$

A continuación, calculamos el segundo paréntesis: $(A^t - I)$. Recordamos que la matriz identidad $I$ de orden $3$ tiene unos en la diagonal principal y ceros en el resto: $$I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Restamos $I$ a la matriz $A^t$ obtenida en el apartado A: $$(A^t - I) = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ -1 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & -1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 2 \\ -1 & -1 & 1 \\ 0 & 3 & -2 \end{pmatrix}$$ $$\boxed{A^t - I = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 2 \\ -1 & -1 & 1 \\ 0 & 3 & -2 \end{pmatrix}}$$

Finalmente, realizamos el producto de las dos matrices resultantes. Multiplicamos una matriz de dimensión $2 \times 3$ por una de $3 \times 3$, lo que dará como resultado una matriz de $2 \times 3$. $$(3B - 2C)(A^t - I) = \begin{pmatrix} 8 & -1 & -2 \\ -9 & 8 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 2 & 2 \\ -1 & -1 & 1 \\ 0 & 3 & -2 \end{pmatrix}$$ Calculamos cada elemento $c_{ij}$ multiplicando la fila $i$ de la primera por la columna $j$ de la segunda: - $c_{11} = (8)(0) + (-1)(-1) + (-2)(0) = 0 + 1 + 0 = 1$ - $c_{12} = (8)(2) + (-1)(-1) + (-2)(3) = 16 + 1 - 6 = 11$ - $c_{13} = (8)(2) + (-1)(1) + (-2)(-2) = 16 - 1 + 4 = 19$ - $c_{21} = (-9)(0) + (8)(-1) + (-1)(0) = 0 - 8 + 0 = -8$ - $c_{22} = (-9)(2) + (8)(-1) + (-1)(3) = -18 - 8 - 3 = -29$ - $c_{23} = (-9)(2) + (8)(1) + (-1)(-2) = -18 + 8 + 2 = -8$ 💡 **Tip:** Para que el producto $M \cdot N$ sea posible, el número de columnas de $M$ debe ser igual al número de filas de $N$. ✅ **Resultado Final:** $$\boxed{\begin{pmatrix} 1 & 11 & 19 \\ -8 & -29 & -8 \end{pmatrix}}$$