Sucesos independientes y propiedades de la probabilidad

**1) [0,5 PUNTOS] Calcule $P(A \cup B)$.** Como el enunciado indica que los sucesos $A$ y $B$ son **independientes**, sabemos que la probabilidad de su intersección es el producto de sus probabilidades individuales: $$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$$ $$P(A \cap B) = 0,5 \cdot 0,25 = 0,125$$ Ahora, utilizamos la fórmula de la probabilidad de la unión de dos sucesos: $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$ Sustituimos los valores conocidos: $$P(A \cup B) = 0,5 + 0,25 - 0,125 = 0,625$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si dos sucesos son independientes, $P(A|B) = P(A)$, lo que deriva directamente en que $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A \cup B) = 0,625}$$

**2) [0,5 PUNTOS] Calcule $P(A^c)$ y $P(B^c)$, donde $A^c$ y $B^c$ denotan el suceso contrario de $A$ y de $B$ respectivamente.** La probabilidad de un suceso contrario (o complementario) se calcula restando a la unidad la probabilidad del suceso original: $$P(A^c) = 1 - P(A)$$ $$P(B^c) = 1 - P(B)$$ Calculamos para cada suceso: $$P(A^c) = 1 - 0,5 = 0,5$$ $$P(B^c) = 1 - 0,25 = 0,75$$ 💡 **Tip:** La suma de la probabilidad de un suceso y su contrario siempre es igual a 1 ($P(A) + P(A^c) = 1$). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A^c) = 0,5, \quad P(B^c) = 0,75}$$

**3) [1 PUNTO] Razone si $A^c$ y $B^c$ son independientes.** Para comprobar si $A^c$ y $B^c$ son independientes, debemos verificar si se cumple que $P(A^c \cap B^c) = P(A^c) \cdot P(B^c)$. Primero, calculamos $P(A^c \cap B^c)$ usando las **Leyes de De Morgan**: $$A^c \cap B^c = (A \cup B)^c$$ Por tanto: $$P(A^c \cap B^c) = P((A \cup B)^c) = 1 - P(A \cup B)$$ $$P(A^c \cap B^c) = 1 - 0,625 = 0,375$$ Ahora, calculamos el producto de las probabilidades individuales halladas en el apartado anterior: $$P(A^c) \cdot P(B^c) = 0,5 \cdot 0,75 = 0,375$$ Como se cumple que: $$P(A^c \cap B^c) = P(A^c) \cdot P(B^c) = 0,375$$ 💡 **Tip:** Teóricamente, si dos sucesos $A$ y $B$ son independientes, también lo son sus contrarios entre sí, así como cada uno con el contrario del otro. ✅ **Conclusión:** $$\boxed{\text{Sí, } A^c \text{ y } B^c \text{ son independientes.}}$$

**4) [0,5 PUNTOS] Calcule $P(A^c \cup B^c)$.** Podemos resolver este apartado de dos formas. La más directa es aplicar de nuevo las **Leyes de De Morgan**, que establecen que la unión de los contrarios es el contrario de la intersección: $$A^c \cup B^c = (A \cap B)^c$$ Entonces: $$P(A^c \cup B^c) = 1 - P(A \cap B)$$ Utilizamos el valor de la intersección que calculamos en el primer apartado ($P(A \cap B) = 0,125$): $$P(A^c \cup B^c) = 1 - 0,125 = 0,875$$ Alternativamente, usando la fórmula de la unión con los datos del apartado 2 y 3: $$P(A^c \cup B^c) = P(A^c) + P(B^c) - P(A^c \cap B^c)$$ $$P(A^c \cup B^c) = 0,5 + 0,75 - 0,375 = 0,875$$ 💡 **Tip:** Las Leyes de De Morgan son extremadamente útiles en ejercicios de probabilidad: $\text{contrario de la unión = intersección de contrarios}$ y viceversa. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A^c \cup B^c) = 0,875}$$