Geometría en el espacio 2023 Cantabria
Posición relativa de dos planos con parámetros
Considere los planos
$$\pi_1 : 2x - 3y + 5z = a$$
$$\pi_2 : bx + 3y - 5z = 4$$
en función de los parámetros $a, b \in \mathbb{R}$. Determine si es posible asignar algún valor a los parámetros $a$ y $b$ para que los planos $\pi_1$ y $\pi_2$:
1) [0,5 PUNTOS] Sean coincidentes. En caso afirmativo de un valor para $a$ y $b$.
2) [1 PUNTO] Sean paralelos. En caso afirmativo de un valor para $a$ y $b$.
3) [1 PUNTO] Se corten en una recta. En caso afirmativo de un valor para $a$ y $b$.
Paso 1
Identificación de elementos y condición de coincidencia
**1) [0,5 PUNTOS] Sean coincidentes. En caso afirmativo de un valor para $a$ y $b$.**
Para estudiar la posición relativa de dos planos, extraemos sus vectores normales y sus términos independientes:
- Plano $\pi_1$: $\vec{n}_1 = (2, -3, 5)$ y $D_1 = a$
- Plano $\pi_2$: $\vec{n}_2 = (b, 3, -5)$ y $D_2 = 4$
Dos planos son coincidentes si sus coeficientes son todos proporcionales:
$$\frac{2}{b} = \frac{-3}{3} = \frac{5}{-5} = \frac{a}{4}$$
Calculamos la razón de proporcionalidad a partir de los términos conocidos:
$$\frac{-3}{3} = -1 \quad \text{y} \quad \frac{5}{-5} = -1$$
Para que se cumpla la igualdad total:
1. $\frac{2}{b} = -1 \implies 2 = -b \implies b = -2$
2. $\frac{a}{4} = -1 \implies a = -4$
💡 **Tip:** Dos planos son coincidentes si representan la misma ecuación, es decir, una es múltiplo de la otra.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{\text{Sí, son coincidentes para } a = -4 \text{ y } b = -2}$$
Paso 2
Condición de paralelismo (no coincidentes)
**2) [1 PUNTO] Sean paralelos. En caso afirmativo de un valor para $a$ y $b$.**
Dos planos son paralelos (pero no coincidentes) si sus vectores normales son proporcionales, pero esa proporción no se mantiene con el término independiente:
$$\frac{2}{b} = \frac{-3}{3} = \frac{5}{-5} \neq \frac{a}{4}$$
De las razones de los vectores normales, ya hemos determinado que debe cumplirse:
$$\frac{2}{b} = -1 \implies b = -2$$
Para que no sean coincidentes, la última razón debe ser distinta de $-1$:
$$\frac{a}{4} \neq -1 \implies a \neq -4$$
Podemos dar cualquier valor que cumpla la condición. Por ejemplo, si tomamos $a = 0$.
💡 **Tip:** Recuerda que si los vectores normales son proporcionales, los planos solo pueden ser paralelos o coincidentes.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{\text{Sí, son paralelos para } b = -2 \text{ y } a \neq -4 \text{ (ej: } a=0\text{)}}
Paso 3
Intersección en una recta
**3) [1 PUNTO] Se corten en una recta. En caso afirmativo de un valor para $a$ y $b$.**
Dos planos se cortan en una recta si sus vectores normales **no** son proporcionales. Esto garantiza que los planos no tienen la misma dirección.
Observamos las razones de los componentes de los vectores normales:
$$\frac{2}{b} \neq \frac{-3}{3}$$
Como $\frac{-3}{3} = -1$, la condición es:
$$\frac{2}{b} \neq -1 \implies b \neq -2$$
El valor del parámetro $a$ es indiferente en este caso, ya que los términos independientes solo desplazan los planos pero no cambian su dirección relativa. Podemos elegir, por ejemplo, $b=1$ y $a=0$.
💡 **Tip:** Si el rango de la matriz formada por los vectores normales es 2, los planos se cortan en una recta.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{\text{Sí, se cortan en una recta para } b \neq -2 \text{ y cualquier } a \in \mathbb{R}}$$