Primitiva, puntos de inflexión y cálculo de área

**1) [0,5 PUNTOS] Calcule una primitiva de $f(x)$.** Una primitiva de una función $f(x)$ es otra función $F(x)$ tal que $F'(x) = f(x)$. Para hallarla, calculamos la integral indefinida: $$F(x) = \int (x^3 + 1) \, dx$$ Aplicamos la regla de la potencia para integrales, $\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$, y la linealidad: $$F(x) = \frac{x^{3+1}}{3+1} + x + C = \frac{x^4}{4} + x + C$$ Como el enunciado nos pide "una" primitiva, podemos elegir cualquier valor para la constante $C$. Tomamos $C = 0$ por simplicidad. 💡 **Tip:** Recuerda que la primitiva general incluye la constante $C$, pero para dar una concreta basta con asignar un valor real a dicha constante. ✅ **Resultado:** $$\boxed{F(x) = \frac{x^4}{4} + x}$$

**2) [1 PUNTO] Calcule los puntos de inflexión de $f(x)$ si los hubiera.** Los puntos de inflexión se encuentran en los valores de $x$ donde la segunda derivada se anula o no existe, y además existe un cambio en la curvatura (concavidad/convexidad). Primero, calculamos la primera y segunda derivada de $f(x) = x^3 + 1$: $$f'(x) = 3x^2$$ $$f''(x) = 6x$$ Igualamos la segunda derivada a cero para encontrar los candidatos: $$6x = 0 \implies x = 0$$ 💡 **Tip:** Un punto de inflexión es aquel donde la función pasa de ser cóncava a convexa o viceversa. No basta con que $f''(x)=0$, debemos comprobar el cambio de signo.

Analizamos el signo de $f''(x)$ a ambos lados de $x = 0$ para confirmar el punto de inflexión: $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, 0) & 0 & (0, +\infty) \\ \hline f''(x) = 6x & - & 0 & + \\ \hline \text{Curvatura} & \text{Cóncava (hacia abajo)} & \text{Inflexión} & \text{Convexa (hacia arriba)} \end{array}$$ Al haber un cambio de signo en $f''(x)$ en $x = 0$, confirmamos que hay un punto de inflexión. Calculamos la ordenada sustituyendo en la función original: $$f(0) = 0^3 + 1 = 1$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Punto de inflexión en } (0, 1)}$$

**3) [1 PUNTO] Calcule el área del recinto limitado por $f(x)$, el eje OX de abscisas y las rectas $x = 1$ y $x = 2$.** El área $A$ viene dada por la integral definida de la función en el intervalo $[1, 2]$: $$A = \int_{1}^{2} |f(x)| \, dx$$ Primero comprobamos si la función corta al eje OX ($f(x) = 0$) en el intervalo $(1, 2)$: $$x^3 + 1 = 0 \implies x^3 = -1 \implies x = -1$$ Como $x = -1$ está fuera del intervalo $[1, 2]$ y la función es positiva en todo el intervalo (ya que para $x \in [1, 2]$, $x^3 + 1 > 0$), no es necesario dividir la integral ni usar valor absoluto dentro de ella. 💡 **Tip:** Siempre verifica si la función cruza el eje horizontal en el intervalo de integración para evitar que las áreas positiva y negativa se cancelen.

Aplicamos la Regla de Barrow utilizando la primitiva calculada en el primer apartado, $F(x) = \frac{x^4}{4} + x$: $$A = \int_{1}^{2} (x^3 + 1) \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} + x \right]_{1}^{2}$$ Calculamos los valores en los límites superior e inferior: - Para $x = 2$: $F(2) = \frac{2^4}{4} + 2 = \frac{16}{4} + 2 = 4 + 2 = 6$ - Para $x = 1$: $F(1) = \frac{1^4}{4} + 1 = \frac{1}{4} + 1 = 1,25$ Restamos los valores: $$A = F(2) - F(1) = 6 - 1,25 = 4,75 \text{ unidades}^2$$ O expresado en fracción: $$A = 6 - \frac{5}{4} = \frac{24 - 5}{4} = \frac{19}{4} \text{ unidades}^2$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Área} = \frac{19}{4} = 4,75 \text{ u}^2}$$ "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "f", "latex": "f(x)=x^3+1", "color": "#2563eb" }, { "id": "r1", "latex": "x=1", "color": "#ef4444", "lineStyle": "DASHED" }, { "id": "r2", "latex": "x=2", "color": "#ef4444", "lineStyle": "DASHED" }, { "id": "area", "latex": "0 \le y \le f(x) \{1 \le x \le 2\}", "color": "#93c5fd" } ], "bounds": { "left": -1, "right": 3, "bottom": -1, "top": 10 } } }