Estudio de una matriz con parámetros: determinante, rango e inversa

**1) Calcule el determinante de $A$ en función del parámetro $a$.** Para calcular el determinante $|A|$, podemos usar la regla de Sarrus o desarrollar por una fila o columna. En este caso, desarrollaremos por la **segunda fila**, ya que contiene un cero, lo que simplifica los cálculos: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & -1 & a \\ 2 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & -1 \end{vmatrix}$$ $$|A| = -2 \cdot \begin{vmatrix} -1 & a \\ 1 & -1 \end{vmatrix} + 0 \cdot \begin{vmatrix} 1 & a \\ 2 & -1 \end{vmatrix} - 3 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix}$$ Calculamos los determinantes de orden 2: $$|A| = -2 \cdot [(-1)(-1) - (a)(1)] - 3 \cdot [(1)(1) - (-1)(2)]$$ $$|A| = -2(1 - a) - 3(1 + 2)$$ $$|A| = -2 + 2a - 3(3) = 2a - 2 - 9 = 2a - 11$$ 💡 **Tip:** Recuerda que al desarrollar por una fila o columna, los signos de los elementos siguen un patrón de damero: $\begin{pmatrix} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{pmatrix}$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{|A| = 2a - 11}$$

**2) Calcule el rango de $A$ en función del parámetro $a$.** El rango de una matriz es el número de filas o columnas linealmente independientes. Para una matriz $3 \times 3$, el rango será 3 si el determinante es distinto de cero. Igualamos el determinante a cero para hallar el valor crítico: $$2a - 11 = 0 \implies 2a = 11 \implies a = \frac{11}{2} = 5,5$$ Analizamos los casos: * **Si $a \neq \frac{11}{2}$:** El determinante $|A| \neq 0$. Esto significa que las tres filas son linealmente independientes. Por tanto, el **rango de $A$ es 3**. * **Si $a = \frac{11}{2}$:** El determinante $|A| = 0$, por lo que el rango es menor que 3. Buscamos un menor de orden 2 que sea distinto de cero dentro de la matriz: $$\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} = (1 \cdot 0) - (-1 \cdot 2) = 0 + 2 = 2 \neq 0$$ Como existe al menos un menor de orden 2 no nulo, el **rango de $A$ es 2**. 💡 **Tip:** El rango de una matriz coincide con el orden del mayor menor no nulo que se pueda extraer de ella. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } a \neq 5,5, \text{rg}(A) = 3; \text{ si } a = 5,5, \text{rg}(A) = 2}$$

**3) Determine para qué valores de $a$ la matriz $A$ tiene inversa.** Una matriz cuadrada $A$ tiene inversa (es regular) si y solo si su determinante es distinto de cero ($|A| \neq 0$). Basándonos en el cálculo del primer apartado: $$|A| = 2a - 11$$ Para que exista la inversa: $$2a - 11 \neq 0 \implies a \neq \frac{11}{2}$$ Por tanto, la matriz $A$ tiene inversa para cualquier valor de $a$ perteneciente a los números reales excepto $5,5$. 💡 **Tip:** Una matriz con determinante igual a cero se llama matriz singular y no tiene inversa. ✅ **Resultado:** $$\boxed{a \in \mathbb{R} \setminus \{11/2\}}$$

**4) Calcule la inversa de $A$ para los diferentes valores del parámetro $a$ para los que existe.** Utilizaremos la fórmula: $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{Adj}(A)^T$. Primero, calculamos los cofactores $c_{ij}$ de la matriz $A$: * $c_{11} = +\begin{vmatrix} 0 & 3 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = (0 - 3) = -3$ * $c_{12} = -\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = -(-2 - 6) = 8$ * $c_{13} = +\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = (2 - 0) = 2$ * $c_{21} = -\begin{vmatrix} -1 & a \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -(1 - a) = a - 1$ * $c_{22} = +\begin{vmatrix} 1 & a \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = -1 - 2a$ * $c_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = -(1 + 2) = -3$ * $c_{31} = +\begin{vmatrix} -1 & a \\ 0 & 3 \end{vmatrix} = -3 - 0 = -3$ * $c_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & a \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = -(3 - 2a) = 2a - 3$ * $c_{33} = +\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} = 0 - (-2) = 2$ La matriz de cofactores es: $C = \begin{pmatrix} -3 & 8 & 2 \\ a - 1 & -2a - 1 & -3 \\ -3 & 2a - 3 & 2 \end{pmatrix}$

Ahora trasponemos la matriz de cofactores para obtener la adjunta traspuesta: $$\text{Adj}(A)^T = C^T = \begin{pmatrix} -3 & a - 1 & -3 \\ 8 & -2a - 1 & 2a - 3 \\ 2 & -3 & 2 \end{pmatrix}$$ Finalmente, aplicamos la fórmula de la inversa dividiendo cada término por el determinante $|A| = 2a - 11$: $$A^{-1} = \frac{1}{2a - 11} \begin{pmatrix} -3 & a - 1 & -3 \\ 8 & -2a - 1 & 2a - 3 \\ 2 & -3 & 2 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Siempre es recomendable comprobar que $A \cdot A^{-1} = I$ (la matriz identidad) si el tiempo lo permite para asegurar que no hay errores de cálculo. ✅ **Resultado:** $$\boxed{A^{-1} = \frac{1}{2a - 11} \begin{pmatrix} -3 & a - 1 & -3 \\ 8 & -2a - 1 & 2a - 3 \\ 2 & -3 & 2 \end{pmatrix}}$$