Probabilidad condicionada: Esperanza de vida

Definimos la variable aleatoria $X$ como la edad que alcanza una mujer en esa región. A partir del enunciado, identificamos las probabilidades dadas: * Evento $A$: Vivir al menos 80 años $\to P(X \geq 80) = 52\% = 0,52$ * Evento $B$: Vivir al menos 71 años $\to P(X \geq 71) = 72\% = 0,72$ La pregunta nos pide la probabilidad de que viva al menos hasta los 80 años, **sabiendo** que ya tiene 71 años. Esto se expresa matemáticamente como la probabilidad condicionada: $$P(X \geq 80 \mid X \geq 71)$$ 💡 **Tip:** En problemas de probabilidad, "sabiendo que", "dado que" o "si ya ha ocurrido" indican siempre una probabilidad condicionada $P(A|B)$.

Podemos visualizar la situación mediante un árbol donde el primer nodo representa llegar a los 71 años y el siguiente paso es llegar a los 80: Como para vivir 80 años es imprescindible haber vivido 71, el suceso "vivir 80 años" es un subconjunto de "vivir 71 años".

La fórmula de la probabilidad condicionada es: $$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$ En nuestro contexto: * $P(B) = P(X \geq 71) = 0,72$ * $P(A \cap B) = P(X \geq 80 \cap X \geq 71)$ Dado que si una mujer vive 80 años, necesariamente ha vivido 71, se cumple que $(X \geq 80) \subset (X \geq 71)$, por lo tanto: $$P(X \geq 80 \cap X \geq 71) = P(X \geq 80) = 0,52$$ Sustituimos en la fórmula: $$P(X \geq 80 \mid X \geq 71) = \frac{P(X \geq 80)}{P(X \geq 71)} = \frac{0,52}{0,72}$$ 💡 **Tip:** Cuando un suceso está contenido en otro ($A \subset B$), la probabilidad de la intersección es simplemente la probabilidad del suceso menor: $P(A \cap B) = P(A)$.

Realizamos la división para obtener el valor numérico: $$\frac{0,52}{0,72} = \frac{52}{72}$$ Simplificamos la fracción dividiendo entre 4: $$\frac{52}{72} = \frac{13}{18} \approx 0,7222$$ Para expresar el resultado en porcentaje, multiplicamos por 100: $$0,7222 \cdot 100 = 72,22\%$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X \geq 80 \mid X \geq 71) = \frac{13}{18} \approx 0,7222 \text{ (o } 72,22\%)}$$