Ecuaciones de las rectas de los lados de un triángulo

**Calcule las ecuaciones de las rectas de los lados de un triángulo que tiene como vertices a los puntos $A = (0, 0, 1), B = (4, 1, 2)$ y $C = (3, 4, 3)$.** Para hallar la ecuación de una recta en el espacio, necesitamos un punto de paso y un vector director. Para el lado $AB$, utilizaremos el punto $A(0, 0, 1)$ y el vector $\vec{v}_{AB}$ que une los puntos $A$ y $B$. Calculamos el vector director $\vec{v}_{AB}$: $$\vec{v}_{AB} = B - A = (4 - 0, 1 - 0, 2 - 1) = (4, 1, 1)$$ Utilizamos la forma continua de la ecuación de la recta: $$\frac{x - x_0}{v_1} = \frac{y - y_0}{v_2} = \frac{z - z_0}{v_3}$$ Sustituyendo el punto $A(0, 0, 1)$ y el vector $(4, 1, 1)$: $$\frac{x - 0}{4} = \frac{y - 0}{1} = \frac{z - 1}{1}$$ Simplificando: $$\frac{x}{4} = y = z - 1$$ 💡 **Tip:** Una recta en el espacio queda determinada unívocamente por un punto y una dirección. Si usaras el punto $B$ en lugar de $A$, obtendrías una ecuación equivalente. ✅ **Recta del lado AB:** $$\boxed{r_{AB}: \frac{x}{4} = y = z - 1}$$

Para el lado $BC$, tomamos como punto de paso $B(4, 1, 2)$ y calculamos su vector director $\vec{v}_{BC}$. Calculamos el vector director $\vec{v}_{BC}$: $$\vec{v}_{BC} = C - B = (3 - 4, 4 - 1, 3 - 2) = (-1, 3, 1)$$ Sustituimos el punto $B(4, 1, 2)$ y el vector $(-1, 3, 1)$ en la ecuación continua: $$\frac{x - 4}{-1} = \frac{y - 1}{3} = \frac{z - 2}{1}$$ Podemos expresar el denominador negativo de forma más elegante multiplicando por $-1$ si fuera necesario, pero la forma estándar es válida. ✅ **Recta del lado BC:** $$\boxed{r_{BC}: \frac{x - 4}{-1} = \frac{y - 1}{3} = z - 2}$$

Finalmente, para el lado $AC$ (o $CA$), utilizamos el punto $A(0, 0, 1)$ y el vector director $\vec{v}_{AC}$. Calculamos el vector director $\vec{v}_{AC}$: $$\vec{v}_{AC} = C - A = (3 - 0, 4 - 0, 3 - 1) = (3, 4, 2)$$ Sustituimos el punto $A(0, 0, 1)$ y el vector $(3, 4, 2)$ en la ecuación continua: $$\frac{x - 0}{3} = \frac{y - 0}{4} = \frac{z - 1}{2}$$ Simplificando: $$\frac{x}{3} = \frac{y}{4} = \frac{z - 1}{2}$$ 💡 **Tip:** Verifica siempre que los puntos pertenecen a las rectas sustituyendo sus coordenadas en las ecuaciones obtenidas. ✅ **Recta del lado AC:** $$\boxed{r_{AC}: \frac{x}{3} = \frac{y}{4} = \frac{z - 1}{2}}$$