Estudio de una función racional: discontinuidad, monotonía y asíntotas

**1) Determina el punto de discontinuidad.** La función $f(x) = \frac{x^{2} - x + 2}{x}$ es una función racional. Su dominio está formado por todos los números reales excepto aquellos que anulan el denominador. Para hallar dichos puntos, igualamos el denominador a cero: $$x = 0$$ Por lo tanto, el dominio es $\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{0\}$. El punto de discontinuidad es **$x = 0$**. Si analizamos el límite en ese punto: $$\lim_{x \to 0} \frac{x^{2} - x + 2}{x} = \frac{2}{0} = \infty$$ Dado que el límite tiende a infinito, se trata de una **discontinuidad inevitable de salto infinito**. 💡 **Tip:** Recuerda que en las funciones racionales, los puntos que no pertenecen al dominio suelen ser candidatos a asíntotas verticales. ✅ **Conjunto de puntos de discontinuidad:** $$\boxed{\{0\}}$$

**2) Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento.** Para estudiar la monotonía, primero calculamos la derivada $f'(x)$. Podemos simplificar la expresión de la función dividiendo cada término del numerador por el denominador para facilitar el cálculo: $$f(x) = \frac{x^{2}}{x} - \frac{x}{x} + \frac{2}{x} = x - 1 + 2x^{-1}$$ Derivamos término a término: $$f'(x) = 1 - 0 - 2x^{-2} = 1 - \frac{2}{x^{2}}$$ Expresándolo como una única fracción: $$f'(x) = \frac{x^{2} - 2}{x^{2}}$$ 💡 **Tip:** También puedes usar la regla del cociente: $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$, pero simplificar la fracción suele ser más rápido en estos casos. $$\boxed{f'(x) = \frac{x^{2} - 2}{x^{2}}}$$

Buscamos los puntos críticos igualando la primera derivada a cero: $$\frac{x^{2} - 2}{x^{2}} = 0 \implies x^{2} - 2 = 0 \implies x^{2} = 2 \implies x = \pm\sqrt{2} \approx \pm 1,41$$ Ahora analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por los puntos críticos y el punto donde la función no existe ($x=0$): $$\begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty, -\sqrt{2}) & -\sqrt{2} & (-\sqrt{2}, 0) & 0 & (0, \sqrt{2}) & \sqrt{2} & (\sqrt{2}, \infty) \\ \hline f'(x) & + & 0 & - & \nexists & - & 0 & + \\ \hline f(x) & \nearrow & \text{Máx} & \searrow & \nexists & \searrow & \text{Mín} & \nearrow \end{array}$$ Justificación de los signos: - Para $x = -2 \in (-\infty, -\sqrt{2})$: $f'(-2) = \frac{(-2)^{2}-2}{(-2)^{2}} = \frac{2}{4} \gt 0$ (**crece**). - Para $x = -1 \in (-\sqrt{2}, 0)$: $f'(-1) = \frac{(-1)^{2}-2}{1} = -1 \lt 0$ (**decrece**). - Para $x = 1 \in (0, \sqrt{2})$: $f'(1) = \frac{1^{2}-2}{1} = -1 \lt 0$ (**decrece**). - Para $x = 2 \in (\sqrt{2}, \infty)$: $f'(2) = \frac{2^{2}-2}{4} = \frac{2}{4} \gt 0$ (**crece**). ✅ **Intervalos de crecimiento y decrecimiento:** $$\boxed{\text{Crecimiento: } (-\infty, -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, \infty)}$$ $$\boxed{\text{Decrecimiento: } (-\sqrt{2}, 0) \cup (0, \sqrt{2})}$$

**3) Calcula las asíntotas.** * **Asíntota Vertical (AV):** Como vimos en el apartado 1, en $x = 0$ el límite es infinito. Por tanto, existe una asíntota vertical en **$x = 0$**. * **Asíntota Horizontal (AH):** Calculamos el límite al infinito: $$\lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}-x+2}{x} = \infty$$ Al ser un límite infinito, **no hay asíntota horizontal**. * **Asíntota Oblicua (AO):** Dado que el grado del numerador es exactamente uno más que el del denominador, existe una asíntota oblicua $y = mx + n$. Al realizar la división polinómica (que ya hicimos en el paso 2): $$f(x) = x - 1 + \frac{2}{x}$$ Cuando $x \to \infty$, el término $\frac{2}{x} \to 0$. La parte entera nos da directamente la ecuación de la recta: **$y = x - 1$**. 💡 **Tip:** En funciones racionales, si realizas la división $P(x)/Q(x)$, el cociente es la asíntota oblicua si el grado de $P(x)$ es el grado de $Q(x) + 1$. ✅ **Resultado final de asíntotas:** $$\boxed{\text{Vertical: } x = 0, \quad \text{Oblicua: } y = x - 1}$$