Discusión y resolución de un sistema con parámetro

**1) [1,25 PUNTOS] Determine para qué valores de $a$ el sistema es compatible.** Para analizar la compatibilidad del sistema según el valor del parámetro $a$, escribimos la matriz de coeficientes ($A$) y la matriz ampliada ($A^*$): $$A = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & -2 \end{pmatrix}, \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 2 & 3 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 & a \\ -1 & 1 & -2 & -3 \end{array}\right)$$ Calculamos el determinante de la matriz de coeficientes $A$ utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & -2 \end{vmatrix} = [2(-1)(-2) + 3(1)(-1) + 1(1)(1)] - [(-1)(-1)(1) + 1(1)(2) + (-2)(1)(3)]$$ $$|A| = [4 - 3 + 1] - [1 + 2 - 6] = 2 - (-3) = 2 + 3 = 5$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero, el sistema es siempre Compatible Determinado (SCD) independientemente de los términos independientes.

Como el determinante de $A$ es $|A| = 5 \neq 0$, podemos afirmar que el rango de la matriz de coeficientes es **$rg(A) = 3$**. Dado que el número máximo de filas de la matriz ampliada $A^*$ es 3, su rango también debe ser 3, ya que contiene a la matriz $A$ en su interior ($rg(A^*) = 3$). Por el **Teorema de Rouché-Frobenius**, al ser el rango de la matriz de coeficientes igual al rango de la matriz ampliada e igual al número de incógnitas ($n=3$): $$rg(A) = rg(A^*) = 3 = n$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{El sistema es compatible determinado para cualquier valor de } a \in \mathbb{R}}$$

**2) [1,25 PUNTOS] Dado $a = 4$, resuelva el sistema anterior si es posible.** Sustituimos $a = 4$ en las ecuaciones: $$\begin{cases} (1) \quad 2x + 3y + z = -1 \\ (2) \quad x - y + z = 4 \\ (3) \quad -x + y - 2z = -3 \end{cases}$$ Observamos que podemos eliminar las incógnitas $x$ e $y$ simultáneamente sumando las ecuaciones (2) y (3): $$(x - y + z) + (-x + y - 2z) = 4 + (-3)$$ $$(1-1)x + (-1+1)y + (1-2)z = 1$$ $$-z = 1 \implies \mathbf{z = -1}$$ 💡 **Tip:** En sistemas 3x3, busca siempre combinaciones de filas que simplifiquen el cálculo antes de aplicar métodos más largos como la Regla de Cramer.

Sustituimos el valor hallado **$z = -1$** en las ecuaciones (1) y (2) para obtener un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: $$\begin{cases} 2x + 3y - 1 = -1 \implies 2x + 3y = 0 \quad (1') \\ x - y - 1 = 4 \implies x - y = 5 \quad (2') \end{cases}$$ De la ecuación $(2')$, despejamos $x$: $$x = y + 5$$ Sustituimos en la ecuación $(1')$: $$2(y + 5) + 3y = 0 \implies 2y + 10 + 3y = 0 \implies 5y = -10$$ $$\mathbf{y = -2}$$ Finalmente, calculamos $x$: $$x = -2 + 5 \implies \mathbf{x = 3}$$ ✅ **Solución final:** $$\boxed{(x, y, z) = (3, -2, -1)}$$