Distribución Normal: Calificaciones de Análisis Matemático

**(a) (0.75 puntos) Calcule la probabilidad de que un estudiante haya obtenido una nota mayor o igual que $7.5$.** Definimos la variable aleatoria $X$ como la calificación obtenida por un estudiante. Según el enunciado, $X$ sigue una distribución normal de media $\mu = 5$ y desviación típica $\sigma = 2$: $$X \sim N(5, 2)$$ Para calcular probabilidades en una normal distinta de la estándar $N(0,1)$, debemos **tipificar** la variable mediante el cambio $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$: $$P(X \ge 7.5) = P\left(Z \ge \frac{7.5 - 5}{2}\right) = P\left(Z \ge \frac{2.5}{2}\right) = P(Z \ge 1.25)$$ 💡 **Tip:** Tipificar permite usar las tablas de la normal estándar $N(0,1)$ restando la media y dividiendo por la desviación típica.

Como las tablas de la distribución normal estándar ofrecen los valores de $P(Z \le z)$, transformamos nuestra expresión mediante el suceso complementario: $$P(Z \ge 1.25) = 1 - P(Z \le 1.25)$$ Buscamos el valor $1.25$ en la tabla $N(0,1)$: - Intersección de la fila $1.2$ y la columna $0.05$: $0.8944$. Sustituimos y resolvemos: $$P(X \ge 7.5) = 1 - 0.8944 = 0.1056$$ ✅ **Resultado (a):** $$\boxed{P(X \ge 7.5) = 0.1056}$$

**(b) (0.75 puntos) Calcula la probabilidad de que un estudiante haya obtenido una nota entre $3$ y $5$.** Buscamos $P(3 \le X \le 5)$. Tipificamos ambos valores de la misma forma que en el apartado anterior: $$P(3 \le X \le 5) = P\left(\frac{3 - 5}{2} \le Z \le \frac{5 - 5}{2}\right) = P(-1 \le Z \le 0)$$ Descomponemos la probabilidad del intervalo: $$P(-1 \le Z \le 0) = P(Z \le 0) - P(Z \le -1)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $P(a \le Z \le b) = P(Z \le b) - P(Z \le a)$.

Sabemos que $P(Z \le 0) = 0.5$ (la media en una normal estándar divide el área en dos partes iguales). Para el valor negativo $P(Z \le -1)$, aplicamos la propiedad de simetría: $$P(Z \le -1) = P(Z \ge 1) = 1 - P(Z \le 1)$$ Consultamos en la tabla el valor de $P(Z \le 1) = 0.8413$. Entonces: $$P(Z \le -1) = 1 - 0.8413 = 0.1587$$ Finalmente: $$P(3 \le X \le 5) = 0.5 - 0.1587 = 0.3413$$ ✅ **Resultado (b):** $$\boxed{P(3 \le X \le 5) = 0.3413}$$

**(c) (1 punto) Se modifica sistema de enseñanza de forma que la desviación típica ahora es $1.5$ y la probabilidad de obtener una nota menor o igual que $6$, sea $0.52$. ¿Cuál sería la nueva media? ¿Ha funcionado el sistema aplicado?** Definimos la nueva variable $X' \sim N(\mu', 1.5)$. El enunciado nos da el dato: $$P(X' \le 6) = 0.52$$ Tipificamos la expresión: $$P\left(Z \le \frac{6 - \mu'}{1.5}\right) = 0.52$$ Buscamos en el **interior** de la tabla de la normal $N(0,1)$ el valor de probabilidad más cercano a $0.52$. Encontramos que para $z = 0.05$, la probabilidad es $0.5199 \approx 0.52$. Igualamos el valor crítico: $$\frac{6 - \mu'}{1.5} = 0.05$$ $$6 - \mu' = 0.05 \cdot 1.5 = 0.075$$ $$\mu' = 6 - 0.075 = 5.925$$ ✅ **Resultado (Media):** $$\boxed{\mu' = 5.925}$$

Para determinar si el sistema ha funcionado, comparamos la media antigua con la nueva media obtenida. - Media inicial: $\mu = 5$ - Nueva media: $\mu' = 5.925$ Como la media de las calificaciones ha aumentado ($5.925 \gt 5$), podemos concluir que el rendimiento académico promedio ha mejorado. ✅ **Conclusión:** $$\boxed{\text{El sistema ha funcionado, ya que la nota media ha subido de 5 a 5.925.}}$$