Probabilidad total y Teorema de Bayes: Suministro de tinta

**(a) (1.25 punto) Calcula la probabilidad de que la caja sea defectuosa.** Primero, definimos los sucesos que intervienen en el problema: - $A$: La caja de tinta proviene de la empresa A. - $B$: La caja de tinta proviene de la empresa B. - $D$: La caja de tinta es defectuosa. - $\bar{D}$: La caja de tinta no es defectuosa. Extraemos los datos del enunciado: - $P(A) = 0.60$ (el $60 \%$ de los pedidos). - $P(B) = 1 - 0.60 = 0.40$ (el resto de los pedidos). - $P(D|A) = 0.016$ (probabilidad de ser defectuosa si es de A). - $P(D|B) = 0.009$ (probabilidad de ser defectuosa si es de B). Representamos la situación mediante un diagrama de árbol para visualizar las probabilidades compuestas: 💡 **Tip:** En un diagrama de árbol, las ramas que salen de un mismo nodo siempre deben sumar 1 ($0.016 + 0.984 = 1$).

Para hallar la probabilidad total de que la caja sea defectuosa $P(D)$, aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**: $$P(D) = P(A) \cdot P(D|A) + P(B) \cdot P(D|B)$$ Sustituimos los valores conocidos: $$P(D) = 0.60 \cdot 0.016 + 0.40 \cdot 0.009$$ $$P(D) = 0.0096 + 0.0036$$ $$P(D) = 0.0132$$ Esto significa que hay un **$1.32 \%$** de probabilidad de que una caja elegida al azar sea defectuosa. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(D) = 0.0132}$$ 💡 **Tip:** El teorema de la probabilidad total suma todas las posibles 'rutas' que nos llevan al suceso $D$ en nuestro árbol.

**(b) (1.25 puntos) Si la caja seleccionada no es defectuosa, calcule la probabilidad de que se haya comprado a la empresa A.** Se nos pide la probabilidad condicionada $P(A|\bar{D})$. Para ello, aplicamos el **Teorema de Bayes**: $$P(A|\bar{D}) = \frac{P(A) \cdot P(\bar{D}|A)}{P(\bar{D})}$$ Primero, calculamos el denominador $P(\bar{D})$. Como es el suceso contrario a ser defectuosa: $$P(\bar{D}) = 1 - P(D) = 1 - 0.0132 = 0.9868$$ Ahora calculamos el numerador $P(A \cap \bar{D})$: $$P(A) \cdot P(\bar{D}|A) = 0.60 \cdot (1 - 0.016) = 0.60 \cdot 0.984 = 0.5904$$ Finalmente, calculamos la división: $$P(A|\bar{D}) = \frac{0.5904}{0.9868} \approx 0.5983$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A|\bar{D}) \approx 0.5983}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $P(A|B)$ es la probabilidad de que ocurra $A$ sabiendo que ya ha ocurrido $B$. En este caso, el dato es que la caja es sana (no defectuosa).