Intersección de planos, proyección ortogonal y punto simétrico

**(a) Calcula un vector director y un punto de la recta $r$ intersección de los planos $\pi$ y $\pi'$.** La recta $r$ viene definida por el sistema de ecuaciones de los dos planos: $$r \equiv \begin{cases} x + y + z = 3 \\ x + y = 3 \end{cases}$$ Para encontrar un punto $Q \in r$, asignamos un valor arbitrario a una de las variables. Si hacemos $x = 0$: 1. De la segunda ecuación: $0 + y = 3 \Rightarrow y = 3$. 2. Sustituyendo en la primera: $0 + 3 + z = 3 \Rightarrow z = 0$. Por tanto, un punto de la recta es: $$\boxed{Q(0, 3, 0)}$$

El vector director de la recta $r$ es perpendicular a los vectores normales de los planos que la definen, $\vec{n}_{\pi} = (1, 1, 1)$ y $\vec{n}_{\pi'} = (1, 1, 0)$. Lo calculamos mediante el producto vectorial: $$\vec{v}_r = \vec{n}_{\pi} \times \vec{n}_{\pi'} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix}$$ Resolvemos el determinante por Sarrus (o desarrollo por adjuntos de la primera fila): $$\vec{v}_r = (1 \cdot 0 - 1 \cdot 1)\vec{i} - (1 \cdot 0 - 1 \cdot 1)\vec{j} + (1 \cdot 1 - 1 \cdot 1)\vec{k}$$ $$\vec{v}_r = -1\vec{i} + 1\vec{j} + 0\vec{k} = (-1, 1, 0)$$ 💡 **Tip:** Cualquier vector proporcional también es válido. Podemos usar $\vec{v}_r = (1, -1, 0)$. $$\boxed{\vec{v}_r = (-1, 1, 0)}$$

**(b) Calcula el punto $P$ de $\pi$ tal que el segmento $AP$ es perpendicular al plano $\pi$.** El punto $P$ es la proyección ortogonal de $A(2, 1, 6)$ sobre el plano $\pi$. Para hallarlo, construimos una recta $L$ que pase por $A$ y sea perpendicular a $\pi$. El vector director de $L$ será el vector normal del plano $\vec{n}_{\pi} = (1, 1, 1)$. Ecuaciones paramétricas de $L$: $$L \equiv \begin{cases} x = 2 + t \\ y = 1 + t \\ z = 6 + t \end{cases}$$ 💡 **Tip:** La proyección ortogonal de un punto sobre un plano es el punto donde la recta perpendicular al plano que pasa por dicho punto interseca al plano.

Sustituimos las coordenadas genéricas de la recta $L$ en la ecuación del plano $\pi: x + y + z = 3$: $$(2 + t) + (1 + t) + (6 + t) = 3$$ $$9 + 3t = 3 \Rightarrow 3t = -6 \Rightarrow t = -2$$ Ahora, calculamos las coordenadas de $P$ sustituyendo $t = -2$ en la recta $L$: - $x = 2 + (-2) = 0$ - $y = 1 + (-2) = -1$ - $z = 6 + (-2) = 4$ $$\boxed{P(0, -1, 4)}$$

**(c) Calcula el punto $A'$ simétrico de $A$ respecto del plano $\pi$.** El punto $P(0, -1, 4)$ es el punto medio del segmento que une $A(2, 1, 6)$ con su simétrico $A'(x', y', z')$. Usamos la propiedad del punto medio: $$P = \frac{A + A'}{2} \implies (0, -1, 4) = \left( \frac{2 + x'}{2}, \frac{1 + y'}{2}, \frac{6 + z'}{2} \right)$$ Resolvemos componente a componente: 1. $0 = \frac{2 + x'}{2} \implies 0 = 2 + x' \implies x' = -2$ 2. $-1 = \frac{1 + y'}{2} \implies -2 = 1 + y' \implies y' = -3$ 3. $4 = \frac{6 + z'}{2} \implies 8 = 6 + z' \implies z' = 2$ 💡 **Tip:** El simétrico se puede ver también como $A' = A + 2\vec{AP}$ o simplemente despejando $A' = 2P - A$. $$\boxed{A'(-2, -3, 2)}$$