Posición relativa, planos y distancias entre rectas

Para resolver el problema, primero obtenemos un punto y un vector director para cada recta. **Recta $s$:** Está dada en forma continua: $\frac{x - x_0}{v_x} = \frac{y - y_0}{v_y} = \frac{z - z_0}{v_z}$. - Punto: $P_s = (2, 2, 0)$ - Vector director: $\vec{v}_s = (1, -1, 1)$ **Recta $r$:** Pasa por $A(1, 0, 1)$ y $B(2, 1, 2)$. - Punto: $P_r = A = (1, 0, 1)$ - Vector director: $\vec{v}_r = \vec{AB} = B - A = (2 - 1, 1 - 0, 2 - 1) = (1, 1, 1)$ 💡 **Tip:** El vector director de una recta que pasa por dos puntos $A$ y $B$ es siempre el vector $\vec{AB}$.

**a) Indica la posición relativa de $r$ y $s$.** Primero, comprobamos si los vectores directores son proporcionales: $\vec{v}_s = (1, -1, 1)$ y $\vec{v}_r = (1, 1, 1)$. Como $\frac{1}{1} \neq \frac{-1}{1}$, los vectores **no son proporcionales**, por lo que las rectas se cortan o se cruzan. Calculamos el vector que une un punto de cada recta: $\vec{P_r P_s} = P_s - P_r = (2-1, 2-0, 0-1) = (1, 2, -1)$. Analizamos la independencia lineal de $\{\vec{v}_s, \vec{v}_r, \vec{P_r P_s}\}$ mediante el determinante (producto mixto): $$\text{det}(\vec{v}_s, \vec{v}_r, \vec{P_r P_s}) = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix}$$ Desarrollando por Sarrus: $$= [1 \cdot 1 \cdot (-1) + (-1) \cdot 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot 2] - [1 \cdot 1 \cdot 1 + 2 \cdot 1 \cdot 1 + (-1) \cdot 1 \cdot (-1)]$$ $$= [-1 - 1 + 2] - [1 + 2 + 1] = 0 - 4 = -4$$ Como el determinante es distinto de cero ($\neq 0$), los tres vectores son linealmente independientes. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Las rectas } r \text{ y } s \text{ se cruzan}}$$

**b) Calcula el plano paralelo a $r$ y que contiene a $s$.** El plano $\pi$ buscado tiene como vectores directores los vectores de ambas rectas, $\vec{v}_s$ y $\vec{v}_r$, y debe pasar por un punto de $s$, por ejemplo $P_s(2, 2, 0)$. El vector normal al plano $\vec{n}$ se obtiene mediante el producto vectorial: $$\vec{n} = \vec{v}_s \times \vec{v}_r = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$$ Resolviendo el determinante: $$\vec{n} = \mathbf{i}(-1-1) - \mathbf{j}(1-1) + \mathbf{k}(1-(-1)) = -2\mathbf{i} + 0\mathbf{j} + 2\mathbf{k} = (-2, 0, 2)$$ Podemos simplificar el vector normal usando uno proporcional: $\vec{n} = (-1, 0, 1)$. La ecuación del plano es: $$-1 \cdot (x - 2) + 0 \cdot (y - 2) + 1 \cdot (z - 0) = 0$$ $$-x + 2 + z = 0 \implies x - z - 2 = 0$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\pi: x - z - 2 = 0}$$

**c) Calcula la distancia entre las rectas $r$ y $s$.** Como las rectas se cruzan, la distancia entre ellas es la distancia de cualquier punto de $r$ al plano $\pi$ calculado anteriormente (ya que $\pi$ es paralelo a $r$ y contiene a $s$). Usamos el punto $P_r(1, 0, 1)$ y la fórmula de distancia punto-plano: $$d(r, s) = d(P_r, \pi) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$ $$d(r, s) = \frac{|1 \cdot (1) + 0 \cdot (0) - 1 \cdot (1) - 2|}{\sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2}} = \frac{|1 - 1 - 2|}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}}$$ Racionalizando: $$d(r, s) = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \text{ unidades}$$ 💡 **Tip:** También podrías usar la fórmula directa: $d(r, s) = \frac{|[\vec{v}_s, \vec{v}_r, \vec{P_r P_s}]|}{|\vec{v}_s \times \vec{v}_r|} = \frac{|-4|}{\sqrt{(-2)^2+0^2+2^2}} = \frac{4}{\sqrt{8}} = \sqrt{2}$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{d(r, s) = \sqrt{2} \approx 1.414 \text{ u}}$$