Primitiva y área de una función exponencial

**(a) (1.5 puntos) Calcula una primitiva de $f(x)$, que pase por el punto $(0, -1)$. (Sugerencia: Puedes utilizar el cambio de variable $t = 2x^2$)** Primero, buscamos la integral indefinida (la familia de todas las primitivas) de la función $f(x) = x e^{2x^2}$: $$\int x e^{2x^2} \, dx$$ Siguiendo la sugerencia, aplicamos el cambio de variable: $$t = 2x^2$$ Derivamos ambos lados respecto a sus variables para hallar la relación entre los diferenciales: $$dt = 4x \, dx \implies \frac{dt}{4} = x \, dx$$ Sustituimos en la integral: $$\int e^t \cdot \frac{1}{4} \, dt = \frac{1}{4} \int e^t \, dt = \frac{1}{4} e^t + C$$ Deshacemos el cambio de variable volviendo a $x$ ($t = 2x^2$): $$F(x) = \frac{1}{4} e^{2x^2} + C$$ 💡 **Tip:** El cambio de variable es muy útil cuando vemos que una parte de la función es (salvo constantes) la derivada de otra parte que está en el exponente o dentro de otra función.

Para encontrar la primitiva específica que pasa por el punto $(0, -1)$, debemos imponer la condición $F(0) = -1$. Sustituimos $x = 0$ en nuestra expresión general de la primitiva: $$F(0) = \frac{1}{4} e^{2(0)^2} + C = -1$$ $$F(0) = \frac{1}{4} e^0 + C = -1$$ Como $e^0 = 1$: $$\frac{1}{4} + C = -1$$ Despejamos $C$: $$C = -1 - \frac{1}{4} = -\frac{5}{4}$$ Por tanto, la primitiva buscada es: $$\boxed{F(x) = \frac{1}{4} e^{2x^2} - \frac{5}{4}}$$

**(b) (1 punto) Calcula el área encerrada por la gráfica de $f$, las rectas $x = 0$ y $x = 1$.** El área encerrada por la gráfica de una función $f(x)$ y el eje $OX$ entre dos valores $x=a$ y $x=b$ viene dada por la integral definida $\int_{a}^{b} |f(x)| \, dx$. En el intervalo $[0, 1]$: - La función exponencial $e^{2x^2}$ es siempre positiva. - El término $x$ es mayor o igual a cero. Por tanto, $f(x) = x e^{2x^2} \ge 0$ en todo el intervalo $[0, 1]$, lo que significa que el área coincide directamente con el valor de la integral definida. $$A = \int_{0}^{1} x e^{2x^2} \, dx$$ 💡 **Tip:** Siempre es recomendable comprobar si la función cruza el eje $OX$ en el intervalo de integración. Si lo hiciera, habría que dividir la integral en varios recintos para asegurar que el área sea positiva.

Utilizamos la primitiva que calculamos en el apartado anterior (no necesitamos la constante $C$ específica, podemos usar la más sencilla con $C=0$): $$A = \left[ \frac{1}{4} e^{2x^2} \right]_{0}^{1}$$ Aplicamos la Regla de Barrow evaluando en los límites superior e inferior: $$A = \left( \frac{1}{4} e^{2(1)^2} \right) - \left( \frac{1}{4} e^{2(0)^2} \right)$$ $$A = \frac{1}{4} e^2 - \frac{1}{4} e^0 = \frac{e^2}{4} - \frac{1}{4}$$ $$A = \frac{e^2 - 1}{4} \text{ unidades de área}$$ Si calculamos el valor aproximado: $$A \approx \frac{7.389 - 1}{4} \approx 1.597 \text{ u}^2$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Área} = \frac{e^2 - 1}{4} \text{ u}^2}$$