Estudio de parámetros y análisis de una función racional

**(a) (0.75 puntos) Calcular $A$ y $B$ para que la gráfica de la función pase por el punto $(0, -3)$ y tenga un extremo relativo en $x = -1$.** Si la gráfica pasa por el punto $(0, -3)$, se debe cumplir que $f(0) = -3$. Sustituimos en la expresión de la función: $$f(0) = \frac{0^2 + A}{B(0) - 1} = \frac{A}{-1} = -A$$ Igualamos al valor dado: $$-A = -3 \implies A = 3$$ 💡 **Tip:** Cuando un enunciado dice que una función pasa por un punto $(x_0, y_0)$, simplemente sustituye $x$ por $x_0$ e iguala la función a $y_0$. $$\boxed{A = 3}$$

Para que tenga un extremo relativo en $x = -1$, la primera derivada debe ser cero en ese punto: $f'(-1) = 0$. Calculamos la derivada de $f(x) = \frac{x^2 + A}{Bx - 1}$ usando la regla del cociente: $$f'(x) = \frac{2x(Bx - 1) - (x^2 + A)B}{(Bx - 1)^2} = \frac{2Bx^2 - 2x - Bx^2 - AB}{(Bx - 1)^2} = \frac{Bx^2 - 2x - AB}{(Bx - 1)^2}$$ Sustituimos $A = 3$ y evaluamos en $x = -1$: $$f'(-1) = \frac{B(-1)^2 - 2(-1) - (3)B}{(B(-1) - 1)^2} = \frac{B + 2 - 3B}{(-B - 1)^2} = \frac{-2B + 2}{(-B - 1)^2}$$ Para que sea un extremo, igualamos a cero: $$-2B + 2 = 0 \implies 2B = 2 \implies B = 1$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada del cociente es $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. Los extremos relativos siempre anulan el numerador de la derivada. $$\boxed{A = 3, B = 1}$$

**(b) (1.25 puntos) Para los valores de $A = 3$ y $B = 1$, estudia si la función tiene asíntotas y extremos relativos.** Con $A = 3$ y $B = 1$, la función es $f(x) = \frac{x^2 + 3}{x - 1}$. El dominio es $\mathbb{R} \setminus \{1\}$. **1. Asíntotas Verticales (AV):** Probamos en el punto de discontinuidad $x = 1$: $$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + 3}{x - 1} = \frac{4}{0} = \infty$$ - $\lim_{x \to 1^-} f(x) = -\infty$ - $\lim_{x \to 1^+} f(x) = +\infty$ Existe una **asíntota vertical en $x = 1$**. **2. Asíntotas Horizontales (AH):** $$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2 + 3}{x - 1} = \pm\infty$$ Como el grado del numerador es mayor que el del denominador, **no hay asíntotas horizontales**. **3. Asíntotas Oblicuas (AO):** Al ser de grado 2 arriba y grado 1 abajo, hay oblicua $y = mx + n$. $$m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 3}{x^2 - x} = 1$$ $$n = \lim_{x \to \infty} (f(x) - mx) = \lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^2 + 3}{x - 1} - x\right) = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 3 - x^2 + x}{x - 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{x + 3}{x - 1} = 1$$ La **asíntota oblicua es $y = x + 1$**. $$\boxed{\text{AV: } x=1, \text{ AO: } y=x+1}$$

Calculamos la derivada para los valores $A=3$ y $B=1$: $$f'(x) = \frac{x^2 - 2x - 3}{(x - 1)^2}$$ Buscamos puntos críticos haciendo $f'(x) = 0$: $$x^2 - 2x - 3 = 0 \implies (x-3)(x+1) = 0 \implies x_1 = 3, x_2 = -1$$ Analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos delimitados por los puntos críticos y el dominio ($x=1$): $$\begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty, -1) & -1 & (-1, 1) & 1 & (1, 3) & 3 & (3, +\infty) \\ \hline f'(x) & + & 0 & - & \nexists & - & 0 & + \\ \hline f(x) & \nearrow & \text{Máx} & \searrow & \nexists & \searrow & \text{Mín} & \nearrow \end{array}$$ - **Máximo relativo** en $x = -1$: $f(-1) = \frac{(-1)^2 + 3}{-1 - 1} = \frac{4}{-2} = -2 \implies \mathbf{(-1, -2)}$ - **Mínimo relativo** en $x = 3$: $f(3) = \frac{3^2 + 3}{3 - 1} = \frac{12}{2} = 6 \implies \mathbf{(3, 6)}$ $$\boxed{\text{Máx: } (-1, -2), \text{ Mín: } (3, 6)}$$

**(c) (0.5 puntos) Para los valores $A = 3$ y $B = 1$, y basándose en los resultados obtenidos en el apartado anterior, realice un esbozo de la función.** Para el dibujo, representamos: 1. Las asíntotas: la vertical $x = 1$ y la oblicua $y = x + 1$. 2. Los puntos singulares: Máximo en $(-1, -2)$ y Mínimo en $(3, 6)$. 3. Las ramas de la función acercándose a las asíntotas siguiendo la monotonía estudiada.