Discusión y resolución de un sistema de ecuaciones lineales

**(a) Discute el sistema según los valores de $a$.** Para discutir el sistema, primero calculamos el determinante de la matriz de coeficientes $A$ utilizando la regla de Sarrus o el desarrollo por una fila: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & -1 & a \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot (1 \cdot 2 - 0 \cdot 1) - (-1) \cdot (2 \cdot 2 - 0 \cdot 0) + a \cdot (2 \cdot 1 - 1 \cdot 0)$$ Efectuamos las operaciones: $$|A| = 1 \cdot (2) + 1 \cdot (4) + a \cdot (2) = 2 + 4 + 2a = 2a + 6$$ Igualamos el determinante a cero para hallar los valores críticos del parámetro: $$2a + 6 = 0 \implies 2a = -6 \implies a = -3$$ 💡 **Tip:** El determinante nos permite saber cuándo el rango de la matriz $A$ es máximo (3 en este caso). Si $|A| \neq 0$, el rango es 3. $$\boxed{|A| = 2a + 6, \text{ nulo si } a = -3}$$

Analizamos los casos según el valor de $a$ aplicando el **Teorema de Rouché-Capelli**: * **Caso 1: $a \neq -3$** En este caso, $|A| \neq 0$, por lo que el $\text{rango}(A) = 3$. Como la matriz ampliada $A^*$ es una matriz de $3 \times 4$, su rango máximo también es 3. Por tanto, $\text{rango}(A) = \text{rango}(A^*) = 3 = n$ (número de incógnitas). El sistema es **Compatible Determinado (SCD)**: tiene solución única. * **Caso 2: $a = -3$** Si $a = -3$, el $|A| = 0$, por lo que $\text{rango}(A) \lt 3$. Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero en $A$: $$\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 1 - (-2) = 3 \neq 0 \implies \text{rango}(A) = 2$$ Analizamos el rango de la matriz ampliada $A^*$ sustituyendo $a = -3$: $$A^* = \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & -3 & -1 \\ 2 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \end{array} \right)$$ Estudiamos el rango de $A^*$ comprobando el determinante de la matriz formada por las columnas 1, 2 y 4: $$\begin{vmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 1(1-1) - (-1)(2-0) + (-1)(2-0) = 0 + 2 - 2 = 0$$ Como todos los menores de orden 3 que incluyen la columna de términos independientes son cero (o se observa que la fila 2 es igual a la suma de la fila 1 y la fila 3 multiplicada por un factor, o simplemente escalonando), concluimos que $\text{rango}(A^*) = 2$. Como $\text{rango}(A) = \text{rango}(A^*) = 2 \lt 3$, el sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)**: tiene infinitas soluciones. 💡 **Tip:** Si el rango es menor que el número de incógnitas pero igual al de la ampliada, el sistema tiene infinitas soluciones que dependerán de $n - \text{rango}$ parámetros. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\begin{cases} a \neq -3 \implies \text{SCD} \\ a = -3 \implies \text{SCI} \end{cases}}$$

**(b) Resuelve el sistema para el caso $a = -3$ si es posible.** Para $a = -3$, el sistema es equivalente a: $$\begin{cases} x - y - 3z = -1 \\ 2x + y = 1 \\ y + 2z = 1 \end{cases}$$ Como el rango es 2, podemos prescindir de una ecuación (que es combinación lineal de las otras) y tratar una variable como parámetro. Usamos las ecuaciones (2) y (3) por ser más sencillas: 1. De la ecuación (3): $y = 1 - 2z$. 2. Sustituimos $y$ en la ecuación (2): $2x + (1 - 2z) = 1 \implies 2x - 2z = 0 \implies x = z$. Si llamamos al parámetro $z = \lambda$ (donde $\lambda \in \mathbb{R}$): $x = \lambda$ $y = 1 - 2\lambda$ $z = \lambda$ 💡 **Tip:** En un SCI, siempre debemos expresar la solución en función de uno o más parámetros (usualmente $\lambda, \mu...$). ✅ **Resultado:** $$\boxed{(x, y, z) = (\lambda, 1 - 2\lambda, \lambda), \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}}$$

**(c) Encuentra un valor de $a$ que verifique $x = 1$. Calcula la solución en ese caso.** El sistema general es: $$\begin{cases} x - y + az = -1 \\ 2x + y = 1 \\ y + 2z = 1 \end{cases}$$ Imponemos la condición $x = 1$ en las ecuaciones que no dependen de $a$ (ec. 2 y 3): 1. En la ec. (2): $2(1) + y = 1 \implies y = 1 - 2 \implies y = -1$. 2. En la ec. (3), con el valor de $y$ hallado: $-1 + 2z = 1 \implies 2z = 2 \implies z = 1$. Ahora, sustituimos $x = 1, y = -1, z = 1$ en la primera ecuación para encontrar $a$: $$1 - (-1) + a(1) = -1 \implies 1 + 1 + a = -1 \implies 2 + a = -1 \implies a = -3$$ Como $a = -3$, estamos en el caso del apartado anterior (SCI). La solución particular cuando $x=1$ (que corresponde a elegir $\lambda = 1$ en la solución general) es: $x = 1$ $y = 1 - 2(1) = -1$ $z = 1$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = -3; \quad (x, y, z) = (1, -1, 1)}$$