Rango, Inversa y Determinantes

**(a) (0.75 puntos) Calcula el determinante y el rango de $P$ para cada valor de $a$.** En primer lugar, calculamos el determinante de la matriz $P$ utilizando la regla de Sarrus: $$\det(P) = \begin{vmatrix} 1 & -1 & a \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & -2 \end{vmatrix} = [1 \cdot 1 \cdot (-2) + (-1) \cdot 0 \cdot 0 + a \cdot 1 \cdot 2] - [0 \cdot 1 \cdot a + 2 \cdot 0 \cdot 1 + (-2) \cdot 1 \cdot (-1)]$$ Operamos los productos: $$\det(P) = [-2 + 0 + 2a] - [0 + 0 + 2] = 2a - 2 - 2 = 2a - 4$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para una matriz de orden 3, el determinante se calcula sumando los productos de la diagonal principal y sus paralelas, y restando los de la diagonal secundaria y las suyas. $$\boxed{\det(P) = 2a - 4}$$

El rango de una matriz es el orden del mayor menor no nulo. Analizamos cuándo el determinante es cero: $$2a - 4 = 0 \implies 2a = 4 \implies a = 2$$ **Caso 1: $a \neq 2$** Si $a \neq 2$, el determinante es distinto de cero ($\det(P) \neq 0$). Como la matriz es de orden 3: $$\boxed{\text{rg}(P) = 3}$$ **Caso 2: $a = 2$** Si $a = 2$, el determinante es cero ($\det(P) = 0$), por lo que $\text{rg}(P) < 3$. Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero en la matriz: $$P = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & -2 \end{pmatrix}$$ Tomamos el menor formado por las dos primeras filas y columnas: $$\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 - (-1) = 2 \neq 0$$ Al existir un menor de orden 2 no nulo: $$\boxed{\text{rg}(P) = 2}$$

**(b) (1 punto) Para $a = 1$ ¿existe $P^{-1}$? En caso afirmativo calcúlala.** Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero. Sustituimos $a = 1$ en la expresión del determinante obtenida en el apartado anterior: $$\det(P) = 2(1) - 4 = -2$$ Como $\det(P) = -2 \neq 0$, **la matriz $P$ es inversible** para $a = 1$. 💡 **Tip:** Una matriz es regular (inversible) si su determinante es no nulo. Si el determinante es cero, la matriz se denomina singular.

Para calcular $P^{-1}$ utilizamos la fórmula: $P^{-1} = \dfrac{1}{|P|} \cdot \text{Adj}(P)^t$. Para $a = 1$, la matriz es $P = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & -2 \end{pmatrix}$. Calculamos la matriz de adjuntos: $C_{11} = +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & -2 \end{vmatrix} = -2$; $C_{12} = -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -2 \end{vmatrix} = 2$; $C_{13} = +\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = 2$ $C_{21} = -\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -2 \end{vmatrix} = -(2 - 2) = 0$; $C_{22} = +\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -2 \end{vmatrix} = -2$; $C_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = -2$ $C_{31} = +\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -1$; $C_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 1$; $C_{33} = +\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 2$ La matriz adjunta es $\text{Adj}(P) = \begin{pmatrix} -2 & 2 & 2 \\ 0 & -2 & -2 \\ -1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$. La traspuesta de la adjunta es: $$\text{Adj}(P)^t = \begin{pmatrix} -2 & 0 & -1 \\ 2 & -2 & 1 \\ 2 & -2 & 2 \end{pmatrix}$$ Finalmente: $$P^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{pmatrix} -2 & 0 & -1 \\ 2 & -2 & 1 \\ 2 & -2 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1/2 \\ -1 & 1 & -1/2 \\ -1 & 1 & -1 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0.5 \\ -1 & 1 & -0.5 \\ -1 & 1 & -1 \end{pmatrix}}$$

**(c) (0.75 puntos) Para $a = 1$, calcula $\det(M)$ sabiendo que $PM = M^2$.** Partimos de la ecuación matricial $PM = M^2$ y aplicamos determinantes en ambos miembros: $$\det(PM) = \det(M^2)$$ Utilizamos las propiedades de los determinantes: 1. El determinante del producto es el producto de los determinantes: $\det(A \cdot B) = \det(A) \cdot \det(B)$. 2. $\det(M^2) = \det(M \cdot M) = (\det(M))^2$. Sustituyendo: $$\det(P) \cdot \det(M) = (\det(M))^2$$ Para $a = 1$, ya sabemos que $\det(P) = -2$. Llamamos $x = \det(M)$ para simplificar la ecuación: $$-2x = x^2 \implies x^2 + 2x = 0$$ Factorizamos la ecuación: $$x(x + 2) = 0$$ Esto nos da dos posibles soluciones para el valor de $\det(M)$: 1. $x = 0 \implies \det(M) = 0$ 2. $x + 2 = 0 \implies x = -2 \implies \det(M) = -2$ 💡 **Tip:** No olvides que al resolver una ecuación cuadrática como $x^2 = kx$, no debes simplificar las $x$ dividiendo, sino pasar todo a un miembro y factorizar para no perder la solución $x=0$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\det(M) = 0 \quad \text{o} \quad \det(M) = -2}$$