Distribución Normal: Puntuaciones examen MIR

**(a) (1.25 puntos) La probabilidad de que la calificación de una persona esté en el intervalo $[75, 85]$.** En primer lugar, definimos la variable aleatoria que describe el problema. Sea $X$ la puntuación obtenida por un candidato en el examen. Según el enunciado, $X$ sigue una distribución normal con los siguientes parámetros: - Media: $\mu = 70$ - Desviación típica: $\sigma = 10$ Por tanto, escribimos: $X \sim N(70, 10)$. 💡 **Tip:** Para resolver probabilidades de una distribución normal $N(\mu, \sigma)$, debemos transformar la variable $X$ en una normal estándar $Z \sim N(0, 1)$ mediante la tipificación: $Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma}$.

Se nos pide calcular la probabilidad $P(75 \le X \le 85)$. Realizamos la tipificación para ambos valores del intervalo: $$P(75 \le X \le 85) = P\left(\frac{75 - 70}{10} \le Z \le \frac{85 - 70}{10}\right)$$ Operamos los valores: $$P(0.5 \le Z \le 1.5)$$ Para calcular la probabilidad de un intervalo, restamos las funciones de distribución acumuladas: $$P(Z \le 1.5) - P(Z \le 0.5)$$ Buscamos los valores en la tabla de la normal estándar $N(0, 1)$: - $P(Z \le 1.5) = 0.9332$ - $P(Z \le 0.5) = 0.6915$ Sustituimos y restamos: $$P(75 \le X \le 85) = 0.9332 - 0.6915 = 0.2417$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(75 \le X \le 85) = 0.2417}$$ La probabilidad de que un candidato obtenga entre 75 y 85 puntos es del **24.17%**.

**(b) (1.25 puntos) Tras resolver las reclamaciones realizadas por los candidatos se observa que la desviación típica se mantiene pero la probabilidad de obtener más de 90 puntos es 0.05. Decide si la media de calificaciones ha aumentado, ha disminuido o se ha mantenido.** Tras las reclamaciones, tenemos una nueva variable $X'$ con los siguientes datos: - La desviación típica sigue siendo $\sigma = 10$. - La nueva media $\mu'$ es desconocida. - Sabemos que $P(X' \gt 90) = 0.05$. Tipificamos la expresión dada: $$P(X' \gt 90) = P\left(Z \gt \frac{90 - \mu'}{10}\right) = 0.05$$ 💡 **Tip:** La tabla de la normal estándar suele dar áreas a la izquierda ($P(Z \le z)$). Como el área a la derecha es $0.05$, el área a la izquierda será $1 - 0.05 = 0.95$.

Buscamos el valor $z_0$ tal que $P(Z \le z_0) = 0.95$. Mirando en la tabla de la normal $N(0, 1)$, el valor $0.95$ se encuentra exactamente entre $z=1.64$ y $z=1.65$. Tomamos el valor medio (o el más cercano según el criterio de clase): $$z_0 = 1.645$$ Igualamos el valor tipificado a $z_0$: $$\frac{90 - \mu'}{10} = 1.645$$ Resolvemos la ecuación para hallar $\mu'$: $$90 - \mu' = 1.645 \cdot 10$$ $$90 - \mu' = 16.45$$ $$\mu' = 90 - 16.45 = 73.55$$ Comparamos con la media inicial ($\mu = 70$): $$\mu' = 73.55 \gt 70$$ Como $73.55 \gt 70$, podemos afirmar que la media ha aumentado. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La media de las calificaciones ha aumentado hasta } 73.55}$$