Probabilidad total y Teorema de Bayes en centrales de producción

**(a) (1.25 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que la unidad seleccionada tenga algún defecto?** En primer lugar, definimos los sucesos que intervienen en el problema: - $E$: La unidad es fabricada en **España**. - $F$: La unidad es fabricada en **Francia**. - $P$: La unidad es fabricada en **Portugal**. - $D$: La unidad presenta algún **defecto**. - $\bar{D}$: La unidad no presenta defectos. A partir del enunciado, extraemos las probabilidades de cada país de origen: - $P(E) = 0.60$ - $P(F) = 0.25$ - $P(P) = 1 - (0.60 + 0.25) = 1 - 0.85 = 0.15$ Y las probabilidades condicionadas de tener un defecto según el origen: - $P(D | E) = 0.01$ - $P(D | F) = 0.005$ - $P(D | P) = 0.02$ Representamos la situación mediante un árbol de probabilidad: 💡 **Tip:** Recuerda que la suma de las probabilidades de las ramas que parten de un mismo nodo siempre debe ser igual a $1$.

Para hallar la probabilidad total de que una unidad sea defectuosa, $P(D)$, aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**. Este teorema nos dice que debemos sumar las probabilidades de llegar al suceso $D$ a través de cada uno de los caminos posibles (España, Francia o Portugal): $$P(D) = P(E) \cdot P(D | E) + P(F) \cdot P(D | F) + P(P) \cdot P(D | P)$$ Sustituimos los valores conocidos: $$P(D) = (0.60 \cdot 0.01) + (0.25 \cdot 0.005) + (0.15 \cdot 0.02)$$ Realizamos las operaciones intermedias: $$P(D) = 0.006 + 0.00125 + 0.003$$ $$P(D) = 0.01025$$ 💡 **Tip:** Al multiplicar probabilidades a lo largo de una rama, estamos calculando la probabilidad de la intersección, por ejemplo: $P(E \cap D) = P(E) \cdot P(D|E)$. ✅ **Resultado (a):** $$\boxed{P(D) = 0.01025 \text{ (o } 1.025\%\text{)}}$$

**(b) (1.25 puntos) Si la unidad seleccionada es defectuosa ¿cuál es la probabilidad de que haya sido fabricada en Portugal?** En este apartado se nos pide una probabilidad condicionada inversa: conocemos el efecto (es defectuosa) y queremos saber la probabilidad de una causa (que sea de Portugal). Para ello utilizamos el **Teorema de Bayes**: $$P(P | D) = \frac{P(P) \cdot P(D | P)}{P(D)}$$ Utilizamos el valor de $P(D)$ calculado en el apartado anterior: $$P(P | D) = \frac{0.15 \cdot 0.02}{0.01025}$$ $$P(P | D) = \frac{0.003}{0.01025}$$ Calculamos el resultado final aproximando a cuatro decimales: $$P(P | D) \approx 0.2927$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Bayes siempre relaciona la probabilidad de una 'rama específica' dividida por la 'probabilidad total' del suceso condicionante. ✅ **Resultado (b):** $$\boxed{P(P | D) \approx 0.2927 \text{ (o } 29.27\%\text{)}}$$