Simetría, planos mediadores y distancias en el espacio

**(a) (1.5 puntos) Calcula el plano $\pi$ que hace que $A$ y $B$ sean simétricos** Para que dos puntos $A$ y $B$ sean simétricos respecto a un plano $\pi$, dicho plano debe cumplir dos condiciones: 1. Debe ser perpendicular al segmento $AB$. Por tanto, el vector director de la recta que une $A$ y $B$ será el **vector normal** del plano: $\vec{n}_{\pi} = \vec{AB}$. 2. Debe pasar por el **punto medio** del segmento $AB$, al que llamaremos $M$. Este plano se denomina técnicamente **plano mediador** del segmento $AB$. 💡 **Tip:** El plano mediador es el lugar geométrico de los puntos del espacio que equidistan de $A$ y de $B$.

Calculamos primero el punto medio $M$ entre $A(1, 0, 0)$ y $B(-1, 4, -4)$: $$M = \left( \frac{1 + (-1)}{2}, \frac{0 + 4}{2}, \frac{0 + (-4)}{2} \right) = (0, 2, -2)$$ Calculamos ahora el vector $\vec{AB}$ para obtener la dirección normal al plano: $$\vec{n}_{\pi} = \vec{AB} = B - A = (-1 - 1, 4 - 0, -4 - 0) = (-2, 4, -4)$$ Para simplificar los cálculos, podemos usar un vector proporcional como vector normal. Dividimos entre $-2$: $$\vec{n}_{\pi} = (1, -2, 2)$$ $$\boxed{M(0, 2, -2), \quad \vec{n}_{\pi} = (1, -2, 2)}$$

La ecuación general de un plano con vector normal $\vec{n}_{\pi} = (A, B, C)$ es $Ax + By + Cz + D = 0$. Sustituimos los componentes de nuestro vector $(1, -2, 2)$: $$1x - 2y + 2z + D = 0$$ Como el plano debe pasar por el punto medio $M(0, 2, -2)$, obligamos a que el punto satisfaga la ecuación para hallar $D$: $$0 - 2(2) + 2(-2) + D = 0 \implies -4 - 4 + D = 0 \implies D = 8$$ La ecuación del plano $\pi$ es: $$\boxed{\pi: x - 2y + 2z + 8 = 0}$$

**(b) (0.5 puntos) Calcula la distancia de $A$ a $\pi$** Usamos la fórmula de la distancia de un punto $P(x_0, y_0, z_0)$ a un plano $Ax + By + Cz + D = 0$: $$d(P, \pi) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$ Sustituimos el punto $A(1, 0, 0)$ y el plano $\pi: x - 2y + 2z + 8 = 0$: $$d(A, \pi) = \frac{|1(1) - 2(0) + 2(0) + 8|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2}} = \frac{|9|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} = \frac{9}{\sqrt{9}} = \frac{9}{3} = 3$$ 💡 **Tip:** Como $M$ es el punto medio y es la proyección de $A$ sobre $\pi$, también podrías calcular la distancia como el módulo del vector $\vec{AM}$: $$\vec{AM} = (0-1, 2-0, -2-0) = (-1, 2, -2) \implies |\vec{AM}| = \sqrt{(-1)^2+2^2+(-2)^2} = 3$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{d(A, \pi) = 3 \text{ unidades}}$$

**(c) (0.5 puntos) Calcula una ecuación continua de la recta que pasa por $A$ y $B$** Para definir una recta $r$ necesitamos un punto y un vector director. - Punto: $A(1, 0, 0)$ - Vector director: $\vec{v}_r = \vec{AB} = (-2, 4, -4)$ Podemos simplificar el vector director (ya que solo importa su dirección) usando $\vec{v}_r = (1, -2, 2)$, dividiendo por $-2$. La ecuación continua tiene la forma: $$\frac{x - x_0}{v_1} = \frac{y - y_0}{v_2} = \frac{z - z_0}{v_3}$$ Sustituyendo el punto $A$ y el vector director simplificado: $$\boxed{\frac{x - 1}{1} = \frac{y}{-2} = \frac{z}{2}}$$ (También sería válida la expresión con el vector original: $\frac{x - 1}{-2} = \frac{y}{4} = \frac{z}{-4}$).