Paralelismo, distancias y planos perpendiculares

**(a) (1.25 puntos) Calcula $a$ para que $r$ y $\pi$ sean paralelos y en ese caso, calcula distancia de $r$ a $\pi$.** Para que la recta $r$ y el plano $\pi$ sean paralelos, el vector director de la recta $\vec{v}_r$ debe ser perpendicular al vector normal del plano $\vec{n}_\pi$. Esto implica que su producto escalar debe ser cero. Extraemos los elementos de las ecuaciones dadas: - De la recta $r \equiv \begin{cases} x = 2 + \lambda \\ y = -1 - \lambda \\ z = 1 + 0\lambda \end{cases}$, obtenemos: - Vector director: $\vec{v}_r = (1, -1, 0)$ - Punto de la recta: $P_r = (2, -1, 1)$ - Del plano $\pi \equiv ax + 2y + (a - 3)z = 4$, obtenemos: - Vector normal: $\vec{n}_\pi = (a, 2, a-3)$ 💡 **Tip:** Recuerda que si el producto escalar es cero, la recta puede estar contenida en el plano o ser paralela a él. Verificaremos esto más adelante.

Planteamos la perpendicularidad entre $\vec{v}_r$ y $\vec{n}_\pi$: $$\vec{v}_r \cdot \vec{n}_\pi = 0 \implies (1, -1, 0) \cdot (a, 2, a-3) = 0$$ $$1 \cdot a + (-1) \cdot 2 + 0 \cdot (a-3) = 0$$ $$a - 2 = 0 \implies a = 2$$ Para confirmar que son paralelos (y que la recta no está contenida en el plano), sustituimos el punto $P_r(2, -1, 1)$ en la ecuación del plano con $a=2$: $$\pi \equiv 2x + 2y + (2 - 3)z = 4 \implies 2x + 2y - z = 4$$ Sustituyendo $P_r$: $$2(2) + 2(-1) - (1) = 4 - 2 - 1 = 1 \neq 4$$ Como el punto no satisface la ecuación, la recta es estrictamente paralela al plano. ✅ **Resultado (parámetro):** $$\boxed{a = 2}$$

Al ser paralelos, la distancia de la recta $r$ al plano $\pi$ es igual a la distancia de cualquier punto de la recta al plano: $$d(r, \pi) = d(P_r, \pi)$$ Con $a=2$, el plano es $\pi \equiv 2x + 2y - z - 4 = 0$ y el punto es $P_r(2, -1, 1)$. Aplicamos la fórmula de la distancia de un punto a un plano: $$d(P_r, \pi) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$ $$d(r, \pi) = \frac{|2(2) + 2(-1) - 1(1) - 4|}{\sqrt{2^2 + 2^2 + (-1)^2}}$$ $$d(r, \pi) = \frac{|4 - 2 - 1 - 4|}{\sqrt{4 + 4 + 1}} = \frac{|-3|}{\sqrt{9}} = \frac{3}{3} = 1$$ ✅ **Resultado (distancia):** $$\boxed{d(r, \pi) = 1 \text{ u.l.}}$$

**(b) (1.25 puntos) Para $a = 1$, calcula el plano $\pi'$ que contiene a $r$ y es perpendicular a $\pi$.** Si $a = 1$, el plano original es $\pi \equiv x + 2y - 2z = 4$, cuyo vector normal es $\vec{n}_\pi = (1, 2, -2)$. Buscamos un plano $\pi'$ con las siguientes condiciones: 1. Contiene a $r$: Por tanto, pasa por el punto $P_r(2, -1, 1)$ y tiene como vector director a $\vec{v}_r = (1, -1, 0)$. 2. Es perpendicular a $\pi$: El vector normal de $\pi$, $\vec{n}_\pi = (1, 2, -2)$, será paralelo al plano $\pi'$, sirviendo como su segundo vector director. Por tanto, $\pi'$ queda definido por: - Punto: $P_r(2, -1, 1)$ - Vector director 1: $\vec{v}_1 = \vec{v}_r = (1, -1, 0)$ - Vector director 2: $\vec{v}_2 = \vec{n}_\pi = (1, 2, -2)$

La ecuación del plano se obtiene mediante el determinante: $$\begin{vmatrix} x - 2 & y + 1 & z - 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 1 & 2 & -2 \end{vmatrix} = 0$$ Desarrollamos por la primera fila (o aplicando Sarrus): $$(x - 2) \begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 2 & -2 \end{vmatrix} - (y + 1) \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} + (z - 1) \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 0$$ $$(x - 2)(2 - 0) - (y + 1)(-2 - 0) + (z - 1)(2 - (-1)) = 0$$ $$2(x - 2) + 2(y + 1) + 3(z - 1) = 0$$ $$2x - 4 + 2y + 2 + 3z - 3 = 0$$ $$2x + 2y + 3z - 5 = 0$$ 💡 **Tip:** Un plano perpendicular a otro plano y que contiene a una recta usa el vector normal del plano original como uno de sus vectores directores. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\pi' \equiv 2x + 2y + 3z - 5 = 0}$$