Optimización de la suma de distancias en un triángulo

A partir del enunciado, situamos los vértices del triángulo en el plano cartesiano: * $A = (-3, 0)$ * $B = (3, 0)$ * $C = (0, 3)$ El punto $P$ se encuentra en el eje $Y$ (la altura desde $C$), por lo que sus coordenadas son $P = (0, y)$, con la restricción $0 < y < 3$. Queremos minimizar la función $S(y)$, que representa la suma de las distancias de $P$ a los tres vértices: $$S(y) = d(P, A) + d(P, B) + d(P, C)$$ Calculamos cada distancia individualmente usando la fórmula de la distancia entre dos puntos $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$: 1. **Distancia de $P$ a $A$:** $d(P, A) = \sqrt{(-3 - 0)^2 + (0 - y)^2} = \sqrt{9 + y^2}$ 2. **Distancia de $P$ a $B$:** $d(P, B) = \sqrt{(3 - 0)^2 + (0 - y)^2} = \sqrt{9 + y^2}$ 3. **Distancia de $P$ a $C$:** $d(P, C) = \sqrt{(0 - 0)^2 + (3 - y)^2} = \sqrt{(3-y)^2} = |3 - y|$ Como el enunciado indica que $y < 3$, entonces $3 - y > 0$, por lo que $d(P, C) = 3 - y$. La función a minimizar es: $$S(y) = \sqrt{9 + y^2} + \sqrt{9 + y^2} + 3 - y = 2\sqrt{9 + y^2} + 3 - y$$ 💡 **Tip:** En problemas de optimización, el primer paso crucial es definir la función objetivo en términos de una sola variable y establecer su dominio, en este caso $y \in (0, 3)$.

Para hallar los extremos relativos, calculamos la primera derivada de $S(y)$ con respecto a $y$: $$S'(y) = \frac{d}{dy} \left( 2(9 + y^2)^{1/2} + 3 - y \right)$$ $$S'(y) = 2 \cdot \frac{1}{2}(9 + y^2)^{-1/2} \cdot (2y) - 1$$ $$S'(y) = \frac{2y}{\sqrt{9 + y^2}} - 1$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de una función de tipo raíz $\sqrt{u}$ es $\frac{u'}{2\sqrt{u}}$. $$\boxed{S'(y) = \frac{2y}{\sqrt{9 + y^2}} - 1}$$

Igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos: $$\frac{2y}{\sqrt{9 + y^2}} - 1 = 0 \implies \frac{2y}{\sqrt{9 + y^2}} = 1$$ $$2y = \sqrt{9 + y^2}$$ Elevamos ambos miembros al cuadrado para eliminar la raíz (sabiendo que $y > 0$): $$(2y)^2 = (\sqrt{9 + y^2})^2$$ $$4y^2 = 9 + y^2$$ $$3y^2 = 9 \implies y^2 = 3$$ $$y = \pm \sqrt{3}$$ Como nuestra restricción es $0 < y < 3$, el único valor válido es: $$y = \sqrt{3} \approx 1.732$$ $$\boxed{y = \sqrt{3}}$$

Para confirmar que $y = \sqrt{3}$ es un mínimo, estudiamos el signo de la primera derivada o utilizamos la segunda derivada $S''(y)$. Calculamos $S''(y)$: $$S''(y) = \frac{2\sqrt{9 + y^2} - 2y \cdot \frac{2y}{2\sqrt{9 + y^2}}}{9 + y^2} = \frac{2(9 + y^2) - 2y^2}{(9 + y^2)\sqrt{9 + y^2}} = \frac{18}{(9 + y^2)^{3/2}}$$ Como $y^2$ siempre es positivo o cero, el denominador $(9 + y^2)^{3/2}$ siempre es positivo. Por tanto, $S''(y) > 0$ para cualquier valor de $y$, lo que garantiza que el punto crítico es un **mínimo relativo**. También podemos observar el crecimiento y decrecimiento en una tabla: $$\begin{array}{c|ccc} y & (0, \sqrt{3}) & \sqrt{3} & (\sqrt{3}, 3) \\ \hline S'(y) & - & 0 & + \\ S(y) & \searrow & \text{mínimo} & \nearrow \end{array}$$ ✅ **Resultado final:** El punto $P$ que minimiza la suma de las distancias es: $$\boxed{P = (0, \sqrt{3}) \approx (0, 1.732)}$$