Cálculo de puntos de corte y área entre parábolas

**(a) (1.25 puntos) Calcula los puntos de corte de ambas curvas y dibuja el recinto limitado por ambas funciones** Para hallar los puntos donde las gráficas se cruzan, igualamos ambas funciones: $f(x) = g(x)$. $$-x^2 = x^2 + x - 1$$ Agrupamos todos los términos en un miembro de la ecuación para obtener una ecuación de segundo grado: $$0 = 2x^2 + x - 1$$ Resolvemos la ecuación mediante la fórmula general: $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(2)(-1)}}{2(2)} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{4} = \frac{-1 \pm 3}{4}$$ Esto nos da dos soluciones para la abscisa $x$: - $x_1 = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{2}{4} = 0.5$ - $x_2 = \frac{-1 - 3}{4} = -1$ Calculamos las ordenadas correspondientes sustituyendo en cualquiera de las funciones (usaremos $f(x) = -x^2$ por simplicidad): - Si $x = 0.5 \implies y = -(0.5)^2 = -0.25$. Punto: **$(0.5, -0.25)$** - Si $x = -1 \implies y = -(-1)^2 = -1$. Punto: **$(-1, -1)$** 💡 **Tip:** Los puntos de corte definen los límites de integración para el cálculo del área en el siguiente apartado. ✅ **Puntos de corte:** $$\boxed{P_1(-1, -1) \quad y \quad P_2(0.5, -0.25)}$$

Para dibujar el recinto, identificamos las funciones: - $f(x) = -x^2$ es una parábola con vértice en $(0,0)$ que abre hacia abajo. - $g(x) = x^2 + x - 1$ es una parábola que abre hacia arriba. El recinto es la región encerrada entre los valores de $x$ desde $-1$ hasta $0.5$.

**(b) (1.25 puntos) Calcula el área de dicho recinto.** El área del recinto limitado por dos funciones se calcula como la integral definida de la diferencia entre la función superior y la inferior en el intervalo determinado por los puntos de corte. Observando la gráfica o evaluando un punto intermedio (por ejemplo, $x = 0$): - $f(0) = 0$ - $g(0) = -1$ Como $f(0) \gt g(0)$, la función $f(x)$ queda por encima de $g(x)$ en el intervalo $[-1, 0.5]$. El área $A$ es: $$A = \int_{-1}^{0.5} [f(x) - g(x)] \, dx = \int_{-1}^{0.5} [-x^2 - (x^2 + x - 1)] \, dx$$ $$A = \int_{-1}^{0.5} (-2x^2 - x + 1) \, dx$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el área siempre debe ser un valor positivo. Si al integrar obtienes un valor negativo, es posible que hayas intercambiado el orden de las funciones.

Calculamos la integral indefinida (primitiva): $$\int (-2x^2 - x + 1) \, dx = -\frac{2x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + x$$ Aplicamos la **Regla de Barrow** en los límites $[-1, 0.5]$: $$A = \left[ -\frac{2x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + x \right]_{-1}^{0.5}$$ Calculamos el valor en el límite superior ($x = 0.5$ o $x = 1/2$): $$F(0.5) = -\frac{2(1/2)^3}{3} - \frac{(1/2)^2}{2} + \frac{1}{2} = -\frac{2/8}{3} - \frac{1/4}{2} + \frac{1}{2} = -\frac{1}{12} - \frac{1}{8} + \frac{1}{2}$$ Para sumar, buscamos el común denominador ($24$): $$F(0.5) = \frac{-2 - 3 + 12}{24} = \frac{7}{24}$$ Calculamos el valor en el límite inferior ($x = -1$): $$F(-1) = -\frac{2(-1)^3}{3} - \frac{(-1)^2}{2} + (-1) = \frac{2}{3} - \frac{1}{2} - 1 = \frac{4 - 3 - 6}{6} = -\frac{5}{6} = -\frac{20}{24}$$ Restamos ambos valores: $$A = F(0.5) - F(-1) = \frac{7}{24} - \left( -\frac{20}{24} \right) = \frac{27}{24}$$ Simplificamos la fracción dividiendo entre 3: $$A = \frac{9}{8} = 1.125$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Área} = \frac{9}{8} \text{ u}^2 \approx 1.125 \text{ u}^2}$$