Operaciones y dimensiones de matrices. Matriz inversa

**(a) (0.75 puntos) Calcula, en caso de que sea posible, las dimensiones de una matriz $D$ tal que se pueda realizar el producto $A \cdot D \cdot B$.** Para que el producto de matrices sea posible, el número de columnas de la primera matriz debe coincidir con el número de filas de la segunda. Analizamos las dimensiones de las matrices dadas: - $A$ tiene 3 filas y 2 columnas, por lo que es una matriz de dimensión $3 \times 2$. - $B$ tiene 2 filas y 3 columnas, por lo que es una matriz de dimensión $2 \times 3$. Sea $D$ una matriz de dimensión $m \times n$. Planteamos el producto: $$A_{3 \times 2} \cdot D_{m \times n} \cdot B_{2 \times 3}$$ 1. Para que exista el producto $A \cdot D$, el número de columnas de $A$ debe ser igual al número de filas de $D$: $$2 = m$$ 2. El resultado de $A \cdot D$ será una matriz de dimensión $3 \times n$. Para que esta se pueda multiplicar por $B_{2 \times 3}$, el número de columnas del producto $A \cdot D$ debe ser igual al número de filas de $B$: $$n = 2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si $P$ es $m \times n$ y $Q$ es $n \times p$, el producto $P \cdot Q$ existe y es de dimensión $m \times p$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{D \text{ debe tener dimensión } 2 \times 2}$$

**(b) (0.5 puntos) Estudia si puede existir una matriz $M$ tal que $M \cdot A = B$.** Analicemos las dimensiones de la igualdad planteada $M \cdot A = B$. Sabemos que: - $A$ es de dimensión $3 \times 2$. - $B$ es de dimensión $2 \times 3$. Supongamos que $M$ es una matriz de dimensión $m \times n$. Para que el producto $M \cdot A$ sea posible, el número de columnas de $M$ debe coincidir con el de filas de $A$: $$n = 3$$ Si esto se cumple, el resultado del producto $M \cdot A$ sería una matriz de dimensión $m \times 2$. Ahora, para que la igualdad $M \cdot A = B$ sea posible, las dimensiones de $M \cdot A$ y $B$ deben coincidir totalmente: $$(m \times 2) = (2 \times 3)$$ Observamos que el número de columnas de la matriz resultante $M \cdot A$ (que es **2**) nunca podrá ser igual al número de columnas de la matriz $B$ (que es **3**). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No existe tal matriz } M \text{ porque las dimensiones no son compatibles para la igualdad.}}$$

**(c) (1.25 puntos) Estudia si existe $(B \cdot A)^{-1}$ y calcúlala en caso de que sea posible.** Primero, calculamos el producto $C = B \cdot A$. $B$ es $2 \times 3$ y $A$ es $3 \times 2$, por lo que $C$ será una matriz $2 \times 2$. $$C = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$$ Efectuamos el producto fila por columna: - $c_{11} = (1)(2) + (1)(-1) + (1)(0) = 2 - 1 + 0 = 1$ - $c_{12} = (1)(1) + (1)(1) + (1)(2) = 1 + 1 + 2 = 4$ - $c_{21} = (-1)(2) + (0)(-1) + (1)(0) = -2 + 0 + 0 = -2$ - $c_{22} = (-1)(1) + (0)(1) + (1)(2) = -1 + 0 + 2 = 1$ $$C = B \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** El producto de matrices no es conmutativo. Asegúrate de multiplicar las filas de la izquierda por las columnas de la derecha.

Para que una matriz tenga inversa, su determinante debe ser distinto de cero. Calculamos $|C|$: $$|C| = \begin{vbar} 1 & 4 \\ -2 & 1 \end{vbar} = (1)(1) - (4)(-2) = 1 + 8 = 9$$ Como $|C| = 9 \neq 0$, **la matriz $B \cdot A$ es invertible** y existe $(B \cdot A)^{-1}$. ✅ **Condición de invertibilidad:** $$\boxed{|B \cdot A| = 9 \neq 0 \implies \exists (B \cdot A)^{-1}}$$

Utilizamos la fórmula de la matriz adjunta: $$C^{-1} = \frac{1}{|C|} \text{Adj}(C)^t$$ 1. Calculamos la matriz de adjuntos $\text{Adj}(C)$: - $Adj(c_{11}) = (-1)^{1+1}(1) = 1$ - $Adj(c_{12}) = (-1)^{1+2}(-2) = 2$ - $Adj(c_{21}) = (-1)^{2+1}(4) = -4$ - $Adj(c_{22}) = (-1)^{2+2}(1) = 1$ $$\text{Adj}(C) = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -4 & 1 \end{pmatrix}$$ 2. Trasponemos la matriz adjunta: $$\text{Adj}(C)^t = \begin{pmatrix} 1 & -4 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$$ 3. Dividimos por el determinante: $$(B \cdot A)^{-1} = \frac{1}{9} \begin{pmatrix} 1 & -4 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/9 & -4/9 \\ 2/9 & 1/9 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{(B \cdot A)^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{9} & -\frac{4}{9} \\ \frac{2}{9} & \frac{1}{9} \end{pmatrix}}$$