Ecuaciones matriciales y sistemas de ecuaciones

**a) Dada la matriz $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ y el vector columna $X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$, hallar todos los $X$ tales que $A \cdot X = 2X$.** Comenzamos escribiendo la ecuación matricial $A \cdot X = 2X$ de forma explícita: $$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = 2 \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x \\ 2y \\ 2z \end{pmatrix}$$ Realizamos el producto de la matriz por el vector columna e igualamos los términos resultantes para obtener un sistema de tres ecuaciones: 1. $x + y + z = 2x$ 2. $2y = 2y$ 3. $x + y + z = 2z$ 💡 **Tip:** Multiplicar una matriz por un vector columna consiste en multiplicar cada fila de la matriz por el vector elemento a elemento y sumar los resultados.

Analizamos y simplificamos las ecuaciones obtenidas: * De la segunda ecuación, $2y = 2y$, observamos que es una identidad que se cumple para cualquier valor de $y$. No nos aporta restricciones adicionales sobre esta variable en este paso. * De la primera ecuación, restamos $2x$ en ambos lados: $-x + y + z = 0 \implies y + z = x$. * De la tercera ecuación, restamos $2z$ en ambos lados: $x + y - z = 0 \implies x + y = z$. Para resolverlo, podemos sumar las dos ecuaciones simplificadas: $$(-x + y + z) + (x + y - z) = 0 \implies 2y = 0 \implies \mathbf{y = 0}$$ Sustituyendo $y = 0$ en la ecuación $x + y = z$: $$x + 0 = z \implies \mathbf{x = z}$$ Como no tenemos restricciones para $x$, podemos usar un parámetro libre $\lambda$ para expresar la solución.

Dado que $y = 0$ y $x = z$, todas las matrices $X$ que cumplen la condición tienen la forma: $$X = \begin{pmatrix} \lambda \\ 0 \\ \lambda \end{pmatrix}$$ Podemos expresarlo como el producto de un parámetro real por un vector base: $$X = \lambda \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \text{ para cualquier } \lambda \in \mathbb{R}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} \lambda \\ 0 \\ \lambda \end{pmatrix}, \forall \lambda \in \mathbb{R}}$$

**b) Dada la matriz $B = \begin{pmatrix} 4 & 6 \\ -3 & -5 \end{pmatrix}$, busca las matrices $M$ tales que $M(B + I) = 2I$, donde $I$ es la matriz identidad $2 \times 2$.** Primero definimos la matriz $C = B + I$ para simplificar la ecuación a $M \cdot C = 2I$: $$C = \begin{pmatrix} 4 & 6 \\ -3 & -5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4+1 & 6+0 \\ -3+0 & -5+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ -3 & -4 \end{pmatrix}$$ Si la matriz $C$ es invertible, podemos despejar $M$ multiplicando por la derecha por $C^{-1}$: $$M = 2I \cdot C^{-1} = 2C^{-1}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que al despejar en ecuaciones matriciales, el orden importa. Si multiplicas por la inversa por la derecha en un lado, debes hacerlo por la derecha en el otro.

Calculamos el determinante de $C$ para verificar si existe su inversa: $$\det(C) = \begin{vmatrix} 5 & 6 \\ -3 & -4 \end{vmatrix} = (5)(-4) - (6)(-3) = -20 + 18 = -2$$ Como $\det(C) \neq 0$, la matriz $C$ es invertible. Calculamos $C^{-1}$ mediante la fórmula de la matriz adjunta o el método directo para $2 \times 2$: $$C^{-1} = \frac{1}{\det(C)} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} = \frac{1}{-2} \begin{pmatrix} -4 & -6 \\ 3 & 5 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** La matriz inversa de $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ se obtiene intercambiando los elementos de la diagonal principal y cambiando el signo de los de la diagonal secundaria, todo ello dividido por el determinante.

Ahora sustituimos $C^{-1}$ en la expresión $M = 2C^{-1}$: $$M = 2 \cdot \left[ \frac{1}{-2} \begin{pmatrix} -4 & -6 \\ 3 & 5 \end{pmatrix} \right]$$ El factor $2$ se cancela con el denominador $-2$, quedando un signo negativo que multiplica a toda la matriz: $$M = -1 \cdot \begin{pmatrix} -4 & -6 \\ 3 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 6 \\ -3 & -5 \end{pmatrix}$$ Observamos que, en este caso particular, la matriz $M$ coincide con la matriz $B$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{M = \begin{pmatrix} 4 & 6 \\ -3 & -5 \end{pmatrix}}$$