Probabilidad y Estadística 2023 Aragon
Distribución normal de sulfitos en vino
10) El contenido total en sulfitos (medido en mg/l) del vino que se produce en una bodega, sigue una distribución normal de media $150 \text{ mg/l}$ y desviación típica $30 \text{ mg/l}$. La bodega se compromete a vender solamente vinos con un contenido total en sulfitos inferior a $200 \text{ mg/l}$, por lo que se desechan para la venta aquellos que superen esta cantidad. Se pide,
a) (1 punto) ¿Cuál es probabilidad de que un vino producido en la bodega se deseche por la elevada cantidad total de sulfitos?
b) (1 punto) ¿Qué porcentaje de los vinos producidos en esta bodega tienen un contenido total en sulfitos entre $110$ y $150 \text{ mg/l}$?
![diagram]
NOTA: En la tabla figuran los valores de P (Z ≤ k) para una distribución normal de media 0 y desviación típica 1. Si no encuentra el valor en la tabla, elija el más próximo y en el caso de que los valores por exceso y por defecto sean iguales considere la media aritmética de los valores correspondientes.
Paso 1
Definición de la variable y parámetros
**a) (1 punto) ¿Cuál es probabilidad de que un vino producido en la bodega se deseche por la elevada cantidad total de sulfitos?**
Primero, definimos la variable aleatoria $X$ que representa el contenido de sulfitos en mg/l. Según el enunciado, $X$ sigue una distribución normal:
$$X \sim N(\mu, \sigma) = N(150, 30)$$
Donde la media es $\mu = 150$ y la desviación típica es $\sigma = 30$.
Un vino se desecha si su contenido en sulfitos supera los $200 \text{ mg/l}$, por lo que buscamos la probabilidad:
$$P(X \gt 200)$$
💡 **Tip:** Para resolver problemas de la normal, siempre debemos tipificar la variable para poder usar la tabla $N(0, 1)$.
Paso 2
Tipificación y cálculo de la probabilidad para el apartado a)
Para calcular $P(X \gt 200)$, transformamos $X$ en una normal estándar $Z$ mediante la fórmula $Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma}$:
$$P(X \gt 200) = P\left(Z \gt \frac{200 - 150}{30}\right) = P\left(Z \gt \frac{50}{30}\right) = P(Z \gt 1.666...)$$
Siguiendo la nota del enunciado, redondeamos al valor más próximo en la tabla, que es $k = 1.67$. Como la tabla solo da probabilidades de tipo $P(Z \le k)$, usamos la propiedad del suceso contrario:
$$P(Z \gt 1.67) = 1 - P(Z \le 1.67)$$
Buscamos $1.67$ en la tabla (fila $1.6$ y columna $0.07$):
$$P(Z \le 1.67) = 0.9525$$
$$P(X \gt 200) = 1 - 0.9525 = 0.0475$$
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(X \gt 200) = 0.0475}$$
La probabilidad de que un vino se deseche es de **0.0475** (un $4.75\%$).
Paso 3
Planteamiento del intervalo para el apartado b)
**b) (1 punto) ¿Qué porcentaje de los vinos producidos en esta bodega tienen un contenido total en sulfitos entre $110$ y $150 \text{ mg/l}$?**
En este caso, queremos calcular la probabilidad de que la variable $X$ esté comprendida entre $110$ y $150$:
$$P(110 \le X \le 150)$$
Tipificamos ambos valores usando de nuevo $\mu = 150$ y $\sigma = 30$:
- Para $x = 110 \implies Z = \dfrac{110 - 150}{30} = -\dfrac{40}{30} = -1.333... \approx -1.33$
- Para $x = 150 \implies Z = \dfrac{150 - 150}{30} = 0$
Por tanto:
$$P(110 \le X \le 150) = P(-1.33 \le Z \le 0)$$
Paso 4
Cálculo con la normal estándar y porcentaje final
Para calcular $P(-1.33 \le Z \le 0)$, aplicamos la propiedad del intervalo:
$$P(-1.33 \le Z \le 0) = P(Z \le 0) - P(Z \le -1.33)$$
Sabemos que $P(Z \le 0) = 0.5$ (por simetría de la normal). Para el valor negativo, usamos la propiedad $P(Z \le -k) = 1 - P(Z \le k)$:
$$P(Z \le -1.33) = 1 - P(Z \le 1.33)$$
Buscamos $1.33$ en la tabla:
$$P(Z \le 1.33) = 0.9082$$
Luego,
$$P(Z \le -1.33) = 1 - 0.9082 = 0.0918$$
Finalmente:
$$P(110 \le X \le 150) = 0.5 - 0.0918 = 0.4082$$
Para expresar el resultado como porcentaje, multiplicamos por $100$:
$$0.4082 \cdot 100 = 40.82\%$$
✅ **Resultado:**
$$\boxed{40.82\%}$$
💡 **Tip:** Recuerda que el área bajo la curva normal a la izquierda de la media siempre es $0.5$.