Dependencia lineal y producto escalar de vectores

**a) (1 punto) Comprueba si los vectores $\{\vec{r}, \vec{s}, \vec{t}\}$ son linealmente dependientes o independientes, siendo $\vec{r} = 2\vec{u} + \vec{w}, \quad \vec{s} = \vec{u} + \vec{v} - \vec{w}, \quad \vec{t} = -3\vec{u} - \vec{v} + 2\vec{w}$.** Como el conjunto $B = \{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\}$ es linealmente independiente, podemos considerarlo como una base del espacio vectorial. Los vectores $\vec{r}, \vec{s}$ y $\vec{t}$ se pueden expresar mediante sus coordenadas respecto a dicha base: $$\vec{r} = (2, 0, 1)_B$$ $$\vec{s} = (1, 1, -1)_B$$ $$\vec{t} = (-3, -1, 2)_B$$ Para determinar si son linealmente independientes, debemos estudiar el rango de la matriz formada por sus coordenadas o, de forma equivalente, calcular su determinante. Si el determinante es distinto de cero, los vectores son linealmente independientes. 💡 **Tip:** Un conjunto de $n$ vectores es linealmente independiente si y solo si el determinante de la matriz formada por sus componentes (en una base dada) es no nulo.

Construimos la matriz $M$ con los vectores por filas (o columnas) y calculamos su determinante mediante la regla de Sarrus: $$\det(M) = \begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ -3 & -1 & 2 \end{vmatrix}$$ Aplicamos Sarrus paso a paso: $$\det(M) = [ (2 \cdot 1 \cdot 2) + (0 \cdot (-1) \cdot (-3)) + (1 \cdot 1 \cdot (-1)) ] - [ ((-3) \cdot 1 \cdot 1) + ((-1) \cdot (-1) \cdot 2) + (0 \cdot 1 \cdot 2) ]$$ $$\det(M) = [ 4 + 0 - 1 ] - [ -3 + 2 + 0 ]$$ $$\det(M) = 3 - (-1) = 3 + 1 = 4$$ Como $\det(M) = 4 \neq 0$, el rango de la matriz es 3. 💡 **Tip:** Recuerda que si el determinante de $n$ vectores en un espacio de dimensión $n$ es distinto de cero, los vectores forman una base y son linealmente independientes.

Al ser el determinante distinto de cero, los vectores no tienen ninguna relación de dependencia lineal entre ellos. Por tanto, los vectores $\{\vec{r}, \vec{s}, \vec{t}\}$ son **linealmente independientes**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Independientes}}$$

**b) (1 punto) Si además, los vectores $\{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\}$ son ortogonales y unitarios, calcula razonadamente $\vec{u} \cdot \vec{r} + \vec{v} \cdot \vec{s} + \vec{w} \cdot \vec{t}$.** Que los vectores sean **unitarios** significa que su módulo es 1, por lo que el producto escalar de cada vector consigo mismo es 1: $$\vec{u} \cdot \vec{u} = 1, \quad \vec{v} \cdot \vec{v} = 1, \quad \vec{w} \cdot \vec{w} = 1$$ Que sean **ortogonales** significa que son perpendiculares entre sí, por lo que su producto escalar es 0: $$\vec{u} \cdot \vec{v} = 0, \quad \vec{u} \cdot \vec{w} = 0, \quad \vec{v} \cdot \vec{w} = 0$$ 💡 **Tip:** Un conjunto de vectores que son a la vez ortogonales y unitarios se denomina **ortonormal**.

Calculamos cada término de la suma por separado aplicando la propiedad distributiva del producto escalar respecto a la suma: 1) $\vec{u} \cdot \vec{r} = \vec{u} \cdot (2\vec{u} + \vec{w}) = 2(\vec{u} \cdot \vec{u}) + (\vec{u} \cdot \vec{w}) = 2(1) + 0 = 2$ 2) $\vec{v} \cdot \vec{s} = \vec{v} \cdot (\vec{u} + \vec{v} - \vec{w}) = (\vec{v} \cdot \vec{u}) + (\vec{v} \cdot \vec{v}) - (\vec{v} \cdot \vec{w}) = 0 + 1 - 0 = 1$ 3) $\vec{w} \cdot \vec{t} = \vec{w} \cdot (-3\vec{u} - \vec{v} + 2\vec{w}) = -3(\vec{w} \cdot \vec{u}) - (\vec{w} \cdot \vec{v}) + 2(\vec{w} \cdot \vec{w}) = -3(0) - 0 + 2(1) = 2$

Sumamos los resultados obtenidos en el paso anterior para obtener el valor total solicitado: $$\vec{u} \cdot \vec{r} + \vec{v} \cdot \vec{s} + \vec{w} \cdot \vec{t} = 2 + 1 + 2 = 5$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{5}$$