Intersección de un plano con los ejes y área de un triángulo

Para encontrar los puntos donde el plano $\pi \equiv 2x + by - 2z + 4 = 0$ corta a los ejes, debemos igualar a cero las coordenadas correspondientes en cada caso: * **Corte con el eje $OX$ ($y=0, z=0$):** $$2x + b(0) - 2(0) + 4 = 0 \implies 2x = -4 \implies x = -2.$$ Obtenemos el punto **$A(-2, 0, 0)$**. * **Corte con el eje $OY$ ($x=0, z=0$):** $$2(0) + by - 2(0) + 4 = 0 \implies by = -4 \implies y = -\frac{4}{b}.$$ Obtenemos el punto **$B(0, -4/b, 0)$**. * **Corte con el eje $OZ$ ($x=0, y=0$):** $$2(0) + b(0) - 2z + 4 = 0 \implies -2z = -4 \implies z = 2.$$ Obtenemos el punto **$C(0, 0, 2)$**. 💡 **Tip:** Los puntos de corte con los ejes siempre tienen dos coordenadas nulas. Por ejemplo, en el eje $X$, los puntos son de la forma $(x, 0, 0)$.

Para calcular el área del triángulo determinado por los puntos $A$, $B$ y $C$, utilizaremos dos vectores que partan del mismo vértice, por ejemplo, los vectores $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$: $$\vec{AB} = B - A = (0 - (-2), -4/b - 0, 0 - 0) = \left(2, -\frac{4}{b}, 0\right)$$ $$\vec{AC} = C - A = (0 - (-2), 0 - 0, 2 - 0) = (2, 0, 2)$$ Visualmente, estos puntos forman un triángulo en el espacio:

El área del triángulo es la mitad del módulo del producto vectorial de los vectores $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$. Calculamos primero el producto vectorial: $$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & -4/b & 0 \\ 2 & 0 & 2 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por Sarrus: $$\vec{AB} \times \vec{AC} = \vec{i} \begin{vmatrix} -4/b & 0 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} - \vec{j} \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} + \vec{k} \begin{vmatrix} 2 & -4/b \\ 2 & 0 \end{vmatrix}$$ $$\vec{AB} \times \vec{AC} = \left( -\frac{8}{b} \right) \vec{i} - (4) \vec{j} + \left( 0 - \left(-\frac{8}{b}\right) \right) \vec{k}$$ $$\vec{AB} \times \vec{AC} = \left( -\frac{8}{b}, -4, \frac{8}{b} \right)$$ 💡 **Tip:** El producto vectorial $\vec{u} \times \vec{v}$ genera un vector perpendicular a ambos, cuyo módulo es el área del paralelogramo que definen.

El área del triángulo $ABC$ viene dada por: $$\text{Área} = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$$ Calculamos el módulo del vector hallado anteriormente: $$|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{\left(-\frac{8}{b}\right)^2 + (-4)^2 + \left(\frac{8}{b}\right)^2}$$ $$|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{\frac{64}{b^2} + 16 + \frac{64}{b^2}} = \sqrt{\frac{128}{b^2} + 16}$$ Igualamos al valor del área dado en el enunciado ($6 \text{ u}^2$): $$\frac{1}{2} \sqrt{\frac{128}{b^2} + 16} = 6$$ $$\sqrt{\frac{128}{b^2} + 16} = 12$$

Elevamos al cuadrado ambos miembros para eliminar la raíz: $$\frac{128}{b^2} + 16 = 144$$ $$\frac{128}{b^2} = 144 - 16$$ $$\frac{128}{b^2} = 128$$ $$1 = b^2$$ $$b = \pm \sqrt{1}$$ Por tanto, los valores posibles para $b$ son: $$b_1 = 1, \quad b_2 = -1$$ Ambos valores cumplen la condición $b \neq 0$ especificada en el enunciado. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{b = 1, \quad b = -1}$$ 💡 **Tip:** Cuando resuelvas una ecuación cuadrática como $b^2 = k$, recuerda siempre considerar las dos soluciones: la positiva y la negativa.