Potencias de matrices y ecuaciones matriciales

**a) (1 punto) Calcula la matriz $A^n$ para $n \in \mathbb{N}$.** Para hallar la expresión general de $A^n$, calculamos las primeras potencias de la matriz $A$ multiplicando sucesivamente por $A$: $$A^1 = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -2 \end{pmatrix}$$ $$A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-1 & 1-2 \\ -1+2 & -1+4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$$ $$A^3 = A^2 \cdot A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0+1 & 0+2 \\ 1-3 & 1-6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -2 & -5 \end{pmatrix}$$ $$A^4 = A^3 \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -2 & -5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-2 & 1-4 \\ -2+5 & -2+10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & -3 \\ 3 & 8 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Al calcular potencias, busca siempre una relación lineal o un ciclo. En este caso, observa que los valores numéricos coinciden con los términos de la sucesión de Fibonacci ($1, 1, 2, 3, 5, 8, \dots$).

Podemos observar que la matriz cumple una relación con la identidad. Probamos si $A^2$ se puede escribir como combinación de $A$ e $I$: $$A^2 = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}, \quad I-A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$$ Por tanto, se cumple la relación: $$A^2 = I - A \implies A^2 + A - I = 0$$ Esta es la ecuación característica de la matriz. A partir de aquí, las potencias sucesivas se obtienen mediante: - $A^3 = A(I-A) = A - A^2 = A - (I-A) = 2A - I$ - $A^4 = A(2A-I) = 2A^2 - A = 2(I-A) - A = 2I - 3A$ - $A^5 = A(2I-3A) = 2A - 3A^2 = 2A - 3(I-A) = 5A - 3I$

Los coeficientes que acompañan a $A$ e $I$ siguen la sucesión de Fibonacci $F_n$ ($F_0=0, F_1=1, F_2=1, F_3=2, F_4=3, F_5=5, \dots$). La fórmula general es: $$A^n = (-1)^{n+1} (F_n A - F_{n-1} I)$$ Donde $F_n$ es el n-ésimo término de la sucesión de Fibonacci. Si calculamos los elementos de la matriz en función de $F_n$: $$\boxed{A^n = \begin{pmatrix} (-1)^{n+1} F_{n-2} & (-1)^{n+1} F_n \\ (-1)^n F_n & (-1)^n F_{n+1} \end{pmatrix}}$$ *(Nota: Esta es una forma avanzada. Para el nivel de Bachillerato, suele bastar con indicar los primeros términos y mencionar la regla de formación de los elementos basados en la suma de los anteriores con alternancia de signos).*

**b) (1 punto) Resuelve la ecuación $(A + 2I) \cdot X = B$, donde $I$ es la matriz identidad de orden 2.** Sea $M = A + 2I$. La ecuación es $M \cdot X = B$. Para despejar $X$, multiplicamos por la izquierda por la matriz inversa $M^{-1}$: $$M^{-1} \cdot M \cdot X = M^{-1} \cdot B \implies X = M^{-1} \cdot B$$ Primero, calculamos $M$: $$M = A + 2I = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** En ecuaciones matriciales del tipo $AX=B$, la solución es $X=A^{-1}B$. Es fundamental respetar el orden de la multiplicación (por la izquierda en este caso).

Para hallar $M^{-1}$, calculamos su determinante: $$|M| = \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} = (3 \cdot 0) - (1 \cdot (-1)) = 0 + 1 = 1$$ Como $|M| \neq 0$, existe la inversa. Hallamos la matriz adjunta y su traspuesta: $$\text{Adj}(M) = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}, \quad \text{Adj}(M)^t = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$$ Entonces: $$M^{-1} = \frac{1}{|M|} \text{Adj}(M)^t = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$$ Curiosamente, observamos que $M^{-1} = A^2$.

Finalmente, calculamos $X$ multiplicando $M^{-1}$ por $B$: $$X = M^{-1} \cdot B = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -3 & 5 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$$ $$x_{11} = 0(-3) + (-1)(2) = -2$$ $$x_{12} = 0(5) + (-1)(1) = -1$$ $$x_{21} = 1(-3) + 3(2) = -3 + 6 = 3$$ $$x_{22} = 1(5) + 3(1) = 5 + 3 = 8$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} -2 & -1 \\ 3 & 8 \end{pmatrix}}$$