Discusión y resolución de un sistema de ecuaciones con parámetro

**a) (1,2 puntos) Discute según los valores de $m \in \mathbb{R}$, qué tipo de sistema es atendiendo a las posibles soluciones (compatible determinado o indeterminado, incompatible).** Para discutir el sistema, representamos las ecuaciones en forma matricial $A \cdot X = B$, donde $A$ es la matriz de coeficientes y $A^*$ es la matriz ampliada: $$A = \begin{pmatrix} -1 & 0 & m \\ 0 & m & 2 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} -1 & 0 & m & 0 \\ 0 & m & 2 & 2 + m^2 \\ 1 & 1 & 0 & 2m \end{array}\right)$$ El número de incógnitas es $n = 3$ ($x, y, z$).

Calculamos el determinante de la matriz de coeficientes $A$ mediante la regla de Sarrus para encontrar los valores críticos de $m$: $$|A| = \begin{vmatrix} -1 & 0 & m \\ 0 & m & 2 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix}$$ $$|A| = [(-1) \cdot m \cdot 0 + 0 \cdot 2 \cdot 1 + m \cdot 0 \cdot 1] - [1 \cdot m \cdot m + 1 \cdot 2 \cdot (-1) + 0 \cdot 0 \cdot 0]$$ $$|A| = 0 - [m^2 - 2] = -m^2 + 2$$ Igualamos el determinante a cero para ver cuándo el rango de $A$ es menor que 3: $$-m^2 + 2 = 0 \implies m^2 = 2 \implies m = \pm \sqrt{2}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si $|A| \neq 0$, el rango de la matriz es igual al número de incógnitas y el sistema es Compatible Determinado por el Teorema de Rouché-Frobenius.

Si $m \neq \sqrt{2}$ y $m \neq -\sqrt{2}$, entonces $|A| \neq 0$. Por lo tanto: $$\text{rang}(A) = 3 = \text{rang}(A^*) = n$$ Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, el sistema es **Compatible Determinado (SCD)**, lo que significa que tiene una solución única. ✅ **Resultado parcial:** $$\boxed{\text{Si } m \neq \pm\sqrt{2}, \text{ el sistema es Compatible Determinado}}$$

Si $m = \sqrt{2}$, el determinante $|A| = 0$, por lo que $\text{rang}(A) < 3$. Consideramos un menor de orden 2 en $A$ para comprobar si el rango es 2: $$\begin{vmatrix} 0 & \sqrt{2} \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 0 - \sqrt{2} = -\sqrt{2} \neq 0 \implies \text{rang}(A) = 2$$ Ahora estudiamos el rango de la matriz ampliada $A^*$. Evaluamos un determinante de orden 3 que incluya la columna de términos independientes: $$|M| = \begin{vmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt{2} & 2+(\sqrt{2})^2 \\ 1 & 1 & 2\sqrt{2} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt{2} & 4 \\ 1 & 1 & 2\sqrt{2} \end{vmatrix}$$ $$|M| = -1 \cdot (\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2} - 4 \cdot 1) = -1 \cdot (4 - 4) = 0$$ Como todos los menores de orden 3 que podemos formar en $A^*$ son cero (podemos verificar los demás, pero coinciden por la estructura del parámetro), concluimos que $\text{rang}(A^*) = 2$. Dado que $\text{rang}(A) = \text{rang}(A^*) = 2 < 3$, según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, el sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)** (infinitas soluciones).

Si $m = -\sqrt{2}$, el determinante $|A| = 0$. Al igual que antes, $\text{rang}(A) = 2$. Evaluamos el rango de $A^*$ con el menor correspondiente: $$|M'| = \begin{vmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -\sqrt{2} & 2+(-\sqrt{2})^2 \\ 1 & 1 & 2(-\sqrt{2}) \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -\sqrt{2} & 4 \\ 1 & 1 & -2\sqrt{2} \end{vmatrix}$$ $$|M'| = -1 \cdot ((-\sqrt{2}) \cdot (-2\sqrt{2}) - 4 \cdot 1) = -1 \cdot (4 - 4) = 0$$ De nuevo, $\text{rang}(A^*) = 2$. Dado que $\text{rang}(A) = \text{rang}(A^*) = 2 < 3$, el sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)**. ✅ **Conclusión de la discusión:** $$\boxed{\begin{cases} \text{Si } m \in \mathbb{R} \setminus \{\sqrt{2}, -\sqrt{2}\}, & \text{Sistema Compatible Determinado} \\ \text{Si } m = \sqrt{2} \text{ o } m = -\sqrt{2}, & \text{Sistema Compatible Indeterminado} \end{cases}}$$

**b) (0,8 puntos) Resuelve el sistema para el valor $m = 2$.** Como $2 \neq \pm\sqrt{2}$, sabemos que el sistema es Compatible Determinado. Sustituimos $m = 2$ en las ecuaciones: $$\begin{cases} -x + 2z = 0 & (1) \\ 2y + 2z = 2 + 2^2 = 6 & (2) \\ x + y = 2(2) = 4 & (3) \end{cases}$$ Simplificamos la ecuación (2) dividiendo por 2: $y + z = 3 \implies y = 3 - z$. De la ecuación (1): $x = 2z$. Sustituimos estas expresiones en la ecuación (3): $$(2z) + (3 - z) = 4$$ $$z + 3 = 4 \implies z = 1$$ Ahora calculamos $x$ e $y$: $$x = 2(1) = 2$$ $$y = 3 - 1 = 2$$ 💡 **Tip:** Siempre puedes verificar el resultado sustituyendo los valores obtenidos en las tres ecuaciones originales para asegurar que se cumplen las igualdades. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{x = 2, \quad y = 2, \quad z = 1}$$