Operaciones con matrices, matriz inversa y ecuaciones matriciales

**a) (1 punto) Estudia si la matriz $D$ tiene inversa y, en caso afirmativo, calcúlala.** Primero debemos calcular la matriz $D = A \cdot B^T - 2I$. Empezamos hallando la traspuesta de $B$: $$B^T = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$ Ahora realizamos el producto $A \cdot B^T$: $$A \cdot B^T = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 2 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-2)(1)+1(0) & (-2)(1)+1(1) & (-2)(-2)+1(0) \\ (2)(1)+0(0) & (2)(1)+0(1) & (2)(-2)+0(0) \\ (1)(1)+(-1)(0) & (1)(1)+(-1)(1) & (1)(-2)+(-1)(0) \end{pmatrix}$$ $$A \cdot B^T = \begin{pmatrix} -2 & -1 & 4 \\ 2 & 2 & -4 \\ 1 & 0 & -2 \end{pmatrix}$$ Finalmente, restamos $2I$: $$D = \begin{pmatrix} -2 & -1 & 4 \\ 2 & 2 & -4 \\ 1 & 0 & -2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 & -1 & 4 \\ 2 & 0 & -4 \\ 1 & 0 & -4 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para multiplicar matrices el número de columnas de la primera debe coincidir con el de filas de la segunda. La matriz identidad $I$ tiene unos en la diagonal principal y ceros en el resto.

Una matriz tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero. Calculamos $|D|$ por la regla de Sarrus o desarrollando por una fila/columna (usaremos la segunda columna al tener dos ceros): $$|D| = \begin{vmatrix} -4 & -1 & 4 \\ 2 & 0 & -4 \\ 1 & 0 & -4 \end{vmatrix} = -(-1) \cdot \begin{vmatrix} 2 & -4 \\ 1 & -4 \end{vmatrix} = 1 \cdot (2(-4) - (-4)(1)) = -8 + 4 = -4$$ Como **$|D| = -4 \neq 0$**, la matriz $D$ **sí tiene inversa**. 💡 **Tip:** Al desarrollar por una fila o columna, recuerda alternar los signos según la posición $(-1)^{i+j}$.

Utilizamos la fórmula $D^{-1} = \frac{1}{|D|} \cdot \text{Adj}(D)^T$. Calculamos los adjuntos de los elementos de $D$: - $D_{11} = +\begin{vmatrix} 0 & -4 \\ 0 & -4 \end{vmatrix} = 0$ - $D_{12} = -\begin{vmatrix} 2 & -4 \\ 1 & -4 \end{vmatrix} = -(-8+4) = 4$ - $D_{13} = +\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 0$ - $D_{21} = -\begin{vmatrix} -1 & 4 \\ 0 & -4 \end{vmatrix} = -(4-0) = -4$ - $D_{22} = +\begin{vmatrix} -4 & 4 \\ 1 & -4 \end{vmatrix} = (16-4) = 12$ - $D_{23} = -\begin{vmatrix} -4 & -1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -(0-(-1)) = -1$ - $D_{31} = +\begin{vmatrix} -1 & 4 \\ 0 & -4 \end{vmatrix} = (4-0) = 4$ - $D_{32} = -\begin{vmatrix} -4 & 4 \\ 2 & -4 \end{vmatrix} = -(16-8) = -8$ - $D_{33} = +\begin{vmatrix} -4 & -1 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} = (0-(-2)) = 2$ $$\text{Adj}(D) = \begin{pmatrix} 0 & 4 & 0 \\ -4 & 12 & -1 \\ 4 & -8 & 2 \end{pmatrix} \implies \text{Adj}(D)^T = \begin{pmatrix} 0 & -4 & 4 \\ 4 & 12 & -8 \\ 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}$$ $$D^{-1} = \frac{1}{-4} \begin{pmatrix} 0 & -4 & 4 \\ 4 & 12 & -8 \\ 0 & -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ -1 & -3 & 2 \\ 0 & 1/4 & -1/2 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{D^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ -1 & -3 & 2 \\ 0 & 1/4 & -1/2 \end{pmatrix}}$$

**b) (1 punto) Resuelve la ecuación matricial $C \cdot X = A^T \cdot B$, donde $A^T$ es la matriz traspuesta de $A$.** Para despejar $X$, multiplicamos por la izquierda por $C^{-1}$ (si existe): $$C^{-1} \cdot C \cdot X = C^{-1} \cdot A^T \cdot B \implies X = C^{-1} \cdot (A^T \cdot B)$$ Calculamos primero el producto $A^T \cdot B$: $$A^T = \begin{pmatrix} -2 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}$$ $$A^T \cdot B = \begin{pmatrix} -2 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \\ -2 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2+2-2 & 0+2+0 \\ 1+0+2 & 0+0+0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** En ecuaciones matriciales, el orden de los productos es fundamental. Si multiplicas por la izquierda en un lado del igual, debes hacerlo también por la izquierda en el otro.

Calculamos la inversa de $C = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$: $$|C| = (2)(0) - (3)(1) = -3$$ La matriz adjunta traspuesta de $C$ es: $$\text{Adj}(C) = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix} \implies \text{Adj}(C)^T = \begin{pmatrix} 0 & -3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$$ $$C^{-1} = \frac{1}{-3} \begin{pmatrix} 0 & -3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1/3 & -2/3 \end{pmatrix}$$ Ahora calculamos $X = C^{-1} \cdot (A^T \cdot B)$: $$X = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1/3 & -2/3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -2 & 2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0( -2)+1(3) & 0(2)+1(0) \\ \frac{1}{3}(-2) + (-\frac{2}{3})(3) & \frac{1}{3}(2) + (-\frac{2}{3})(0) \end{pmatrix}$$ $$X = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ -\frac{2}{3} - 2 & \frac{2}{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ -8/3 & 2/3 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ -8/3 & 2/3 \end{pmatrix}}$$