Dominio y asíntotas de una función irracional

**a) (0,75 puntos) Estudia y escribe su dominio de definición.** La función $f(x) = \frac{2x - 1}{\sqrt{x^2 - x - 2}}$ es una función racional que contiene una raíz cuadrada en el denominador. Para determinar su dominio, debemos considerar dos restricciones: 1. El radicando de una raíz cuadrada debe ser mayor o igual a cero: $x^2 - x - 2 \ge 0$. 2. El denominador no puede ser cero: $\sqrt{x^2 - x - 2} \neq 0$, lo que implica $x^2 - x - 2 \neq 0$. Combinando ambas, el dominio estará formado por los valores de $x$ tales que: $$x^2 - x - 2 \gt 0$$ Primero, hallamos las raíces de la ecuación de segundo grado $x^2 - x - 2 = 0$: $$x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2}$$ Esto nos da dos soluciones: - $x_1 = \frac{4}{2} = 2$ - $x_2 = \frac{-2}{2} = -1$ 💡 **Tip:** Cuando una raíz está en el denominador, la condición de existencia pasa de $\ge 0$ a $\gt 0$ estrictamente.

Las raíces $x = -1$ y $x = 2$ dividen la recta real en tres intervalos. Estudiamos el signo de $x^2 - x - 2$ en cada uno: $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, -1) & (-1, 2) & (2, +\infty) \\\hline x^2 - x - 2 & + & - & + \end{array}$$ - Para $x \in (-\infty, -1)$, por ejemplo $x = -2$: $(-2)^2 - (-2) - 2 = 4 + 2 - 2 = 4 \gt 0$ (Válido). - Para $x \in (-1, 2)$, por ejemplo $x = 0$: $0^2 - 0 - 2 = -2 \lt 0$ (No válido). - Para $x \in (2, +\infty)$, por ejemplo $x = 3$: $3^2 - 3 - 2 = 4 \gt 0$ (Válido). Como buscamos los valores donde el polinomio es estrictamente positivo, el dominio es: ✅ **Resultado (Dominio):** $$\boxed{\text{Dom}(f) = (-\infty, -1) \cup (2, +\infty)}$$

**b) (1,25 puntos) Estudia la existencia de asíntotas y ramas parabólicas. Determina las asíntotas caso de existir.** Las asíntotas verticales (AV) suelen encontrarse en los puntos donde el denominador se anula y que son fronteras del dominio. En este caso, $x = -1$ y $x = 2$. - **En $x = -1$ (por la izquierda):** $$\lim_{x \to -1^-} \frac{2x - 1}{\sqrt{x^2 - x - 2}} = \frac{2(-1) - 1}{0^+} = \frac{-3}{0^+} = -\infty$$ Existe una asíntota vertical en **$x = -1$**. - **En $x = 2$ (por la derecha):** $$\lim_{x \to 2^+} \frac{2x - 1}{\sqrt{x^2 - x - 2}} = \frac{2(2) - 1}{0^+} = \frac{3}{0^+} = +\infty$$ Existe una asíntota vertical en **$x = 2$**. 💡 **Tip:** Solo calculamos los límites laterales que tienen sentido dentro del dominio. No existe función entre $-1$ y $2$. ✅ **Resultado (Asíntotas Verticales):** $$\boxed{x = -1, \quad x = 2}$$

Para las asíntotas horizontales (AH), calculamos los límites en el infinito. $$\lim_{x \to +\infty} \frac{2x - 1}{\sqrt{x^2 - x - 2}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{2x}{x} - \frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{x^2}{x^2} - \frac{x}{x^2} - \frac{2}{x^2}}} = \frac{2}{\sqrt{1}} = 2$$ Existe una asíntota horizontal en **$y = 2$** cuando $x \to +\infty$. 💡 **Tip:** En funciones con raíces, el signo del límite al infinito depende del grado y del coeficiente principal. Al dividir por $x$ (que es positivo si $x \to +\infty$), entra en la raíz como $x^2$.

Calculamos el límite cuando $x \to -\infty$. Es importante notar que si $x$ es negativo, $\sqrt{x^2} = |x| = -x$. Podemos hacer el cambio $x = -t$ con $t \to +\infty$: $$\lim_{x \to -\infty} \frac{2x - 1}{\sqrt{x^2 - x - 2}} = \lim_{t \to +\infty} \frac{2(-t) - 1}{\sqrt{(-t)^2 - (-t) - 2}} = \lim_{t \to +\infty} \frac{-2t - 1}{\sqrt{t^2 + t - 2}} = \frac{-2}{\sqrt{1}} = -2$$ Existe una asíntota horizontal en **$y = -2$** cuando $x \to -\infty$. ✅ **Resultado (Asíntotas Horizontales):** $$\boxed{y = 2 \text{ (si } x \to +\infty), \quad y = -2 \text{ (si } x \to -\infty)}$$

Dado que hemos encontrado asíntotas horizontales tanto en $+\infty$ como en $-\infty$, **no existen asíntotas oblicuas (AO)** ni **ramas parabólicas**. Una función no puede tener AH y AO simultáneamente por el mismo lado del infinito. 💡 **Tip:** Una rama parabólica ocurre cuando el límite de $f(x)$ es infinito pero el límite de $f(x)/x$ es $0$ o infinito. Aquí los límites son finitos. ✅ **Resultado Final:** $$\boxed{\begin{aligned} &\text{AV: } x = -1, x = 2 \\ &\text{AH: } y = 2 \text{ (en } +\infty), y = -2 \text{ (en } -\infty) \\ &\text{AO: No tiene} \\ &\text{Ramas parabólicas: No tiene} \end{aligned}}$$