Área entre una parábola y una recta

Para definir el recinto, primero necesitamos la ecuación de la recta, a la que llamaremos $g(x)$. El enunciado nos da su pendiente $m = \frac{1}{2}$ y un punto de corte con $f(x)$ en $x = \frac{7}{2}$. Primero, calculamos la ordenada del punto de corte evaluando $f\left(\frac{7}{2}\right)$: $$f\left(\frac{7}{2}\right) = -\left(\frac{7}{2}\right)^2 + 4\left(\frac{7}{2}\right) = -\frac{49}{4} + \frac{28}{2} = -\frac{49}{4} + 14 = -\frac{49}{4} + \frac{56}{4} = \frac{7}{4}.$$ El punto de corte es $P\left(\frac{7}{2}, \frac{7}{4}\right)$. Ahora aplicamos la ecuación punto-pendiente para hallar $g(x)$: $$y - y_0 = m(x - x_0) \implies y - \frac{7}{4} = \frac{1}{2}\left(x - \frac{7}{2}\right).$$ $$y = \frac{1}{2}x - \frac{7}{4} + \frac{7}{4} \implies y = \frac{1}{2}x.$$ 💡 **Tip:** La ecuación de la recta punto-pendiente es $y - y_0 = m(x - x_0)$, donde $(x_0, y_0)$ es un punto de la recta y $m$ su pendiente. $$\boxed{g(x) = \frac{1}{2}x}$$

Para hallar los límites de integración del recinto, igualamos ambas funciones $f(x) = g(x)$: $$-x^2 + 4x = \frac{1}{2}x.$$ Multiplicamos todo por $2$ para trabajar sin denominadores: $$-2x^2 + 8x = x \implies -2x^2 + 7x = 0.$$ Factorizamos para resolver la ecuación de segundo grado: $$x(-2x + 7) = 0.$$ Las soluciones son: - $x = 0$ - $-2x + 7 = 0 \implies x = \frac{7}{2}$ Los puntos de corte son $x=0$ y $x=\frac{7}{2}$. $$\boxed{x_1 = 0, \quad x_2 = \frac{7}{2}}$$

Debemos determinar cuál de las dos funciones está por encima de la otra en el intervalo $\left(0, \frac{7}{2}\right)$. Evaluamos en un punto intermedio, por ejemplo $x = 1$: - $f(1) = -1^2 + 4(1) = 3$ - $g(1) = \frac{1}{2}(1) = 0.5$ Como $f(1) \gt g(1)$, la parábola está por encima de la recta en todo el intervalo. El área $A$ se calcula mediante la integral definida: $$A = \int_{0}^{7/2} (f(x) - g(x)) \, dx = \int_{0}^{7/2} \left(-x^2 + 4x - \frac{1}{2}x\right) \, dx = \int_{0}^{7/2} \left(-x^2 + \frac{7}{2}x\right) \, dx.$$ 💡 **Tip:** El área entre dos curvas $f$ y $g$ en $[a,b]$ es $\int_a^b |f(x)-g(x)| \, dx$. Si $f \ge g$ en ese intervalo, es simplemente la integral de la diferencia.

Calculamos la primitiva y aplicamos la Regla de Barrow: $$\int \left(-x^2 + \frac{7}{2}x\right) \, dx = \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{7x^2}{4} \right]_{0}^{7/2}.$$ Evaluamos en el límite superior e inferior: $$A = \left( -\frac{(7/2)^3}{3} + \frac{7(7/2)^2}{4} \right) - \left( 0 \right)$$ $$A = -\frac{343/8}{3} + \frac{7(49/4)}{4} = -\frac{343}{24} + \frac{343}{16}.$$ Buscamos el mínimo común múltiplo de $24$ y $16$, que es $48$: $$A = \frac{-2 \cdot 343 + 3 \cdot 343}{48} = \frac{343}{48} \approx 7.146.$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Área} = \frac{343}{48} \text{ u}^2}$$