Límite con indeterminación $1^\infty$

Para calcular el límite, primero analizamos el comportamiento de la base y del exponente por separado cuando $x \to +\infty$. **Estudio de la base:** Desarrollamos el numerador: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{(x + 1)^2}{x^2 + 3x + 1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 + 2x + 1}{x^2 + 3x + 1}$$ Al ser un cociente de polinomios del mismo grado, el límite es el cociente de los coeficientes principales: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 + 2x + 1}{x^2 + 3x + 1} = \frac{1}{1} = 1.$$ **Estudio del exponente:** $$\lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty.$$ Por tanto, nos encontramos ante una indeterminación de la forma **$1^{\infty}$**. 💡 **Tip:** Recuerda que las indeterminaciones de tipo $1^{\infty}$ se resuelven habitualmente transformándolas mediante la propiedad del número $e$.

Para resolver la indeterminación $1^{\infty}$, aplicamos la fórmula: $$\lim_{x \to a} f(x)^{g(x)} = e^{\lim_{x \to a} g(x) \cdot [f(x) - 1]}$$ En nuestro caso: $$L = e^{\lim_{x \to +\infty} \ln x \cdot \left[ \frac{(x + 1)^2}{x^2 + 3x + 1} - 1 \right]}$$ Operamos dentro del corchete para simplificar la expresión: $$\frac{(x + 1)^2}{x^2 + 3x + 1} - 1 = \frac{x^2 + 2x + 1 - (x^2 + 3x + 1)}{x^2 + 3x + 1} = \frac{x^2 + 2x + 1 - x^2 - 3x - 1}{x^2 + 3x + 1} = \frac{-x}{x^2 + 3x + 1}$$ Ahora el límite en el exponente queda: $$\lim_{x \to +\infty} \ln x \cdot \left( \frac{-x}{x^2 + 3x + 1} \right) = \lim_{x \to +\infty} \frac{-x \ln x}{x^2 + 3x + 1}$$

Calculamos el límite del exponente: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{-x \ln x}{x^2 + 3x + 1}$$ Al sustituir $x$ por $+\infty$, obtenemos una indeterminación del tipo $\frac{\infty}{\infty}$. Aplicamos la **regla de L'Hôpital** derivando numerador y denominador por separado: - Derivada del numerador: $(-x \ln x)' = -1 \cdot \ln x + (-x) \cdot \frac{1}{x} = -\ln x - 1$ - Derivada del denominador: $(x^2 + 3x + 1)' = 2x + 3$ Entonces: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{-x \ln x}{x^2 + 3x + 1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{-\ln x - 1}{2x + 3}$$ Sigue siendo una indeterminación $\frac{\infty}{\infty}$, por lo que aplicamos L'Hôpital una segunda vez: - Derivada de $(-\ln x - 1)$: $-\frac{1}{x}$ - Derivada de $(2x + 3)$: $2$ $$\lim_{x \to +\infty} \frac{-\ln x - 1}{2x + 3} = \lim_{x \to +\infty} \frac{-\frac{1}{x}}{2} = \frac{0}{2} = 0.$$ 💡 **Tip:** La regla de L'Hôpital se puede aplicar siempre que tengamos $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$ y las funciones sean derivables.

Una vez calculado el límite del exponente, volvemos a la expresión original: $$L = e^0 = 1.$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\lim_{x \to +\infty} \left[ \frac{(x + 1)^2}{x^2 + 3x + 1} \right]^{\ln x} = 1}$$