Continuidad y extremos relativos con parámetros

**a) (1 punto) Estudia su continuidad en $\mathbb{R}$ según los valores de $a$.** Para estudiar la continuidad, analizamos primero el dominio de la función. La función está definida en dos ramas: 1. Para $x \neq 0$: $f(x) = ax - \frac{\sin x}{x} + 2$. Esta expresión es continua en su dominio puesto que es la suma de un polinomio ($ax+2$) y un cociente de funciones continuas donde el denominador $x$ solo se anula en $x=0$, punto que no pertenece a esta rama. 2. Para $x = 0$: $f(0) = 2$. Por tanto, la función es continua en $\mathbb{R} \setminus \{0\}$. El único punto donde debemos estudiar la continuidad específicamente es en $x = 0$.

Para que $f(x)$ sea continua en $x = 0$, se debe cumplir que: $$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$$ Sabemos que $f(0) = 2$. Calculamos el límite: $$\lim_{x \to 0} \left( ax - \frac{\sin x}{x} + 2 \right) = \lim_{x \to 0} (ax) - \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} + 2$$ El primer término es $a \cdot 0 = 0$. Para el segundo término, aplicamos el límite notable o la **Regla de L'Hôpital** (ya que es una indeterminación $\frac{0}{0}$): $$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \stackrel{L'H}{=} \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = \cos(0) = 1.$$ Entonces: $$\lim_{x \to 0} f(x) = 0 - 1 + 2 = 1.$$ Comparamos el límite con el valor de la función: - $\lim_{x \to 0} f(x) = 1$ - $f(0) = 2$ Como $1 \neq 2$, la función presenta una **discontinuidad evitable** en $x = 0$ independientemente del valor de $a$. 💡 **Tip:** Una discontinuidad es evitable si existe el límite finito pero no coincide con el valor de la función o esta no está definida en el punto. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La función es continua en } \mathbb{R} \setminus \{0\} \text{ para cualquier } a \in \mathbb{R}. \text{ En } x=0 \text{ tiene una discontinuidad evitable.}}$$

**b) (1 punto) Calcula el valor de $a$ para que $f(x)$ tenga un extremo relativo en $x = -\frac{\pi}{2}$ y di qué tipo de extremo es.** Para que haya un extremo relativo en $x = -\frac{\pi}{2}$ (punto donde la función es derivable), la primera derivada debe ser cero: $f'(-\frac{\pi}{2}) = 0$. Derivamos la función para $x \neq 0$ usando la regla del cociente para el término trigonométrico: $$f'(x) = a - \left( \frac{\cos x \cdot x - \sin x \cdot 1}{x^2} \right) = a - \frac{x \cos x - \sin x}{x^2}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Imponemos la condición $f'\left(-\frac{\pi}{2}\right) = 0$: $$a - \frac{(-\frac{\pi}{2}) \cos(-\frac{\pi}{2}) - \sin(-\frac{\pi}{2})}{(-\frac{\pi}{2})^2} = 0$$ Sabemos que: - $\cos(-\frac{\pi}{2}) = 0$ - $\sin(-\frac{\pi}{2}) = -1$ Sustituyendo: $$a - \frac{(-\frac{\pi}{2}) \cdot 0 - (-1)}{\frac{\pi^2}{4}} = 0 \implies a - \frac{1}{\frac{\pi^2}{4}} = 0$$ $$a - \frac{4}{\pi^2} = 0 \implies a = \frac{4}{\pi^2}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = \dfrac{4}{\pi^2}}$$

Para saber si es un máximo o un mínimo, utilizamos el criterio de la segunda derivada. Derivamos $f'(x)$: $$f'(x) = a - \frac{x \cos x - \sin x}{x^2}$$ $$f''(x) = - \frac{(\cos x - x \sin x - \cos x)x^2 - (x \cos x - \sin x)2x}{x^4}$$ $$f''(x) = - \frac{-x^3 \sin x - 2x^2 \cos x + 2x \sin x}{x^4} = \frac{x^2 \sin x + 2x \cos x - 2 \sin x}{x^3}$$ Evaluamos en $x = -\frac{\pi}{2}$: $$f''\left(-\frac{\pi}{2}\right) = \frac{(-\frac{\pi}{2})^2 \sin(-\frac{\pi}{2}) + 2(-\frac{\pi}{2}) \cos(-\frac{\pi}{2}) - 2\sin(-\frac{\pi}{2})}{(-\frac{\pi}{2})^3}$$ $$f''\left(-\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\frac{\pi^2}{4}(-1) + 0 - 2(-1)}{-\frac{\pi^3}{8}} = \frac{-\frac{\pi^2}{4} + 2}{-\frac{\pi^3}{8}}$$ Analizamos el signo: - El numerador: $2 - \frac{\pi^2}{4} \approx 2 - \frac{9.87}{4} \approx 2 - 2.47 = -0.47$ (**Negativo**). - El denominador: $-\frac{\pi^3}{8}$ (**Negativo**). Como $\frac{\text{Negativo}}{\text{Negativo}} = \text{Positivo}$, entonces $f''(-\frac{\pi}{2}) > 0$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Al ser } f'(-\pi/2)=0 \text{ y } f''(-\pi/2)>0, \text{ en } x = -\frac{\pi}{2} \text{ hay un mínimo relativo.}}$$