Probabilidad y Estadística 2023 Aragon
Probabilidad total y Teorema de Bayes: Club deportivo Ares
10) En el club deportivo Ares, se juegan tres modalidades de raqueta: pádel, tenis y frontón-tenis. Cada socio del club sólo puede apuntarse a una única modalidad. El 60% se apuntó a pádel, el 25% a tenis y el 15% a frontón-tenis. En los campeonatos anuales entre clubes deportivos, participaron todos los socios del club Ares, de los cuales han conseguido medalla el 21% de los jugadores de pádel, el 30% de los jugadores de tenis y el 12% de los jugadores de frontón-tenis.
a) (1 punto) Calcula la probabilidad de que un jugador de raqueta del club, seleccionado al azar, haya obtenido una medalla.
b) (1 punto) Calcula la probabilidad de que un jugador con medalla, seleccionado al azar, sea jugador de la modalidad tenis.
Paso 1
Definición de sucesos y organización de los datos
**a) (1 punto) Calcula la probabilidad de que un jugador de raqueta del club, seleccionado al azar, haya obtenido una medalla.**
Primero, definimos los sucesos según las modalidades de raqueta y la obtención de medalla:
- $P$: El socio juega a pádel.
- $T$: El socio juega a tenis.
- $F$: El socio juega a frontón-tenis.
- $M$: El socio ha obtenido medalla.
Extraemos las probabilidades del enunciado:
- $P(P) = 0.60$
- $P(T) = 0.25$
- $P(F) = 0.15$
Las probabilidades condicionadas de obtener medalla según el deporte son:
- $P(M|P) = 0.21$
- $P(M|T) = 0.30$
- $P(M|F) = 0.12$
Organizamos esta información en un **diagrama de árbol**:
Paso 2
Cálculo de la probabilidad total
Para calcular la probabilidad de que un jugador haya obtenido medalla $P(M)$, aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**.
Este teorema nos dice que la probabilidad de un suceso $M$ que depende de varios sucesos incompatibles que forman una partición ($P, T, F$) es la suma de las probabilidades de las intersecciones:
$$P(M) = P(P) \cdot P(M|P) + P(T) \cdot P(M|T) + P(F) \cdot P(M|F)$$
Sustituimos con los valores conocidos:
$$P(M) = (0.60 \cdot 0.21) + (0.25 \cdot 0.30) + (0.15 \cdot 0.12)$$
$$P(M) = 0.126 + 0.075 + 0.018$$
$$P(M) = 0.219$$
💡 **Tip:** Recuerda que la suma de las probabilidades de las ramas que salen de un mismo nodo siempre debe ser $1$. En este caso, $0.60 + 0.25 + 0.15 = 1$.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(M) = 0.219}$$
Paso 3
Probabilidad condicionada (Teorema de Bayes)
**b) (1 punto) Calcula la probabilidad de que un jugador con medalla, seleccionado al azar, sea jugador de la modalidad tenis.**
En este apartado nos piden una probabilidad a posteriori, es decir, sabiendo que el jugador tiene medalla, ¿cuál es la probabilidad de que juegue al tenis? Esto se denota como $P(T|M)$.
Utilizaremos el **Teorema de Bayes**:
$$P(T|M) = \frac{P(T \cap M)}{P(M)} = \frac{P(T) \cdot P(M|T)}{P(M)}$$
Ya conocemos todos los valores necesarios:
- $P(T) \cdot P(M|T) = 0.25 \cdot 0.30 = 0.075$ (Probabilidad de ser de tenis y tener medalla).
- $P(M) = 0.219$ (Calculado en el apartado anterior).
💡 **Tip:** El Teorema de Bayes se usa para "invertir" la condición. Si conocemos $P(M|T)$ pero queremos hallar $P(T|M)$, Bayes es la herramienta adecuada.
Paso 4
Cálculo final del apartado b
Realizamos la división:
$$P(T|M) = \frac{0.075}{0.219}$$
Podemos expresar el resultado en forma decimal (aproximando) o como una fracción exacta:
$$P(T|M) = \frac{75}{219} = \frac{25}{73} \approx 0.3425$$
Por tanto, existe aproximadamente un **34.25%** de probabilidad de que un socio con medalla sea jugador de tenis.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(T|M) = \frac{25}{73} \approx 0.3425}$$