Distribución Binomial: Turistas en Aragón

**a) (1 punto) Razona, sin hacer uso de la calculadora: ¿Qué es más probable, que 2 de estos turistas visitaran Aragón, o que sean 5 los que visitaron nuestra Comunidad Autónoma?** Primero, identificamos el tipo de experimento. Tenemos un número fijo de ensayos independientes ($n = 7$) y en cada uno hay dos posibles resultados: visitar Aragón (éxito) o no visitarlo (fracaso). Definimos la variable aleatoria: $X$: "Número de turistas que visitaron Aragón de entre los 7 seleccionados". Se trata de una **Distribución Binomial** con parámetros: - $n = 7$ (número de turistas) - $p = 0,35$ (probabilidad de éxito: visitar Aragón) - $q = 1 - p = 0,65$ (probabilidad de fracaso: no visitar Aragón) La función de probabilidad es: $$P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot q^{n-k}$$ 💡 **Recuerda:** Una variable sigue una distribución binomial $B(n, p)$ cuando realizamos $n$ pruebas independientes con probabilidad constante $p$ de éxito.

Escribimos las probabilidades para $k=2$ y $k=5$ usando la fórmula anterior: - Para $k=2$: $$P(X = 2) = \binom{7}{2} \cdot (0,35)^2 \cdot (0,65)^5$$ - Para $k=5$: $$P(X = 5) = \binom{7}{5} \cdot (0,35)^5 \cdot (0,65)^2$$ Para comparar ambas expresiones sin usar calculadora, utilizaremos las propiedades de los números combinatorios. Sabemos que: $$\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k} \implies \binom{7}{2} = \binom{7}{7-2} = \binom{7}{5}$$ Como los coeficientes combinatorios son iguales, la comparación depende únicamente de los productos de las potencias. 💡 **Tip:** No es necesario calcular el valor de $\binom{7}{2}$. Al ser iguales en ambos casos, se simplifican al comparar.

Comparamos los términos restantes: ¿Es mayor $(0,35)^2 \cdot (0,65)^5$ o $(0,35)^5 \cdot (0,65)^2$? Podemos simplificar dividiendo ambos términos por $(0,35)^2 \cdot (0,65)^2$ (que es un valor positivo): - En el primer caso (para $k=2$) nos queda: $(0,65)^3$ - En el segundo caso (para $k=5$) nos queda: $(0,35)^3$ Como la base $0,65$ es mayor que $0,35$, se cumple que: $$(0,65)^3 \gt (0,35)^3$$ Por tanto, $P(X = 2) \gt P(X = 5)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Es más probable que } 2 \text{ turistas visitaran Aragón.}}$$

**b) (1 punto) Calcula la probabilidad de que alguno de los 7 turistas haya visitado Aragón.** La frase "que alguno haya visitado" significa que el número de éxitos es al menos 1, es decir, $P(X \ge 1)$. Calcular $P(X=1) + P(X=2) + \dots + P(X=7)$ es muy largo. Es mucho más eficiente utilizar el **suceso contrario**: El contrario de "al menos uno" es "ninguno" ($X=0$). La propiedad de la probabilidad del suceso contrario es: $$P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0)$$ 💡 **Tip:** Siempre que te pidan la probabilidad de "al menos uno", intenta resolverlo mediante $1 - P(\text{ninguno})$.

Calculamos $P(X = 0)$: $$P(X = 0) = \binom{7}{0} \cdot (0,35)^0 \cdot (0,65)^7$$ Sabemos que $\binom{7}{0} = 1$ y que $(0,35)^0 = 1$, por lo que: $$P(X = 0) = 1 \cdot 1 \cdot (0,65)^7$$ $$P(X = 0) \approx 0,0490$$ Ahora calculamos la probabilidad final: $$P(X \ge 1) = 1 - 0,0490 = 0,9510$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X \ge 1) = 0,9510}$$