Dependencia lineal y producto vectorial de combinaciones lineales

**a) (1,2 puntos) Comprueba si los vectores $\{\vec{r}, \vec{s}, \vec{t}\}$ son linealmente dependientes o independientes, siendo $\vec{r} = \vec{u} - \vec{v} - 2\vec{w}, \vec{s} = \vec{u} + 3\vec{w}, \vec{t} = 2\vec{u} - \vec{v} + \vec{w}$.** Como el conjunto $B = \{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\}$ es linealmente independiente, podemos tratarlo como una base de un espacio vectorial de dimensión 3. Los vectores $\vec{r}, \vec{s}$ y $\vec{t}$ se pueden expresar mediante sus coordenadas en dicha base: - $\vec{r} = 1\vec{u} - 1\vec{v} - 2\vec{w} \implies \vec{r} = (1, -1, -2)_B$ - $\vec{s} = 1\vec{u} + 0\vec{v} + 3\vec{w} \implies \vec{s} = (1, 0, 3)_B$ - $\vec{t} = 2\vec{u} - 1\vec{v} + 1\vec{w} \implies \vec{t} = (2, -1, 1)_B$ Para comprobar si son linealmente independientes, calcularemos el determinante de la matriz formada por sus coordenadas. Si el determinante es distinto de cero, serán independientes; si es igual a cero, serán dependientes. 💡 **Tip:** Tres vectores son linealmente independientes si y solo si el determinante de la matriz que forman sus coordenadas es distinto de cero.

Calculamos el determinante de la matriz $M$ formada por los vectores fila: $$\det(M) = \begin{vmatrix} 1 & -1 & -2 \\ 1 & 0 & 3 \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix}$$ Aplicamos la regla de Sarrus: $$\det(M) = [(1 \cdot 0 \cdot 1) + (1 \cdot (-1) \cdot (-2)) + (-1 \cdot 3 \cdot 2)] - [(-2 \cdot 0 \cdot 2) + (3 \cdot (-1) \cdot 1) + (-1 \cdot 1 \cdot 1)]$$ $$\det(M) = [0 + 2 - 6] - [0 - 3 - 1]$$ $$\det(M) = [-4] - [-4] = -4 + 4 = 0$$ Como el determinante es **cero**, el rango de la matriz es menor que 3, lo que implica que los vectores son linealmente dependientes. ✅ **Resultado (apartado a):** $$\boxed{\text{Los vectores } \{\vec{r}, \vec{s}, \vec{t}\} \text{ son linealmente dependientes.}}$$

**b) (0,8 puntos) Calcula razonadamente $3\vec{s} \times (\vec{t} - \vec{r})$ donde $\times$ representa el producto vectorial de dos vectores.** Primero, vamos a calcular el vector diferencia $(\vec{t} - \vec{r})$ utilizando sus expresiones en función de $\vec{u}, \vec{v}$ y $\vec{w}$: $$\vec{t} - \vec{r} = (2\vec{u} - \vec{v} + \vec{w}) - (\vec{u} - \vec{v} - 2\vec{w})$$ Agrupamos los términos: $$\vec{t} - \vec{r} = (2 - 1)\vec{u} + (-1 - (-1))\vec{v} + (1 - (-2))\vec{w}$$ $$\vec{t} - \vec{r} = 1\vec{u} + 0\vec{v} + 3\vec{w}$$ $$\vec{t} - \vec{r} = \vec{u} + 3\vec{w}$$ Observamos que el resultado obtenido es idéntico al vector $\vec{s}$ definido en el enunciado: $$\vec{s} = \vec{u} + 3\vec{w}$$ Por lo tanto, $\vec{t} - \vec{r} = \vec{s}.$

Sustituimos el resultado anterior en la expresión pedida: $$3\vec{s} \times (\vec{t} - \vec{r}) = 3\vec{s} \times \vec{s}$$ Utilizamos las propiedades del producto vectorial. Sabemos que el producto vectorial de un vector por sí mismo es siempre el vector nulo ($\vec{a} \times \vec{a} = \vec{0}$), y que podemos extraer los escalares fuera del producto: $$3\vec{s} \times \vec{s} = 3 (\vec{s} \times \vec{s}) = 3 \cdot \vec{0} = \vec{0}$$ 💡 **Tip:** El producto vectorial de dos vectores paralelos (o iguales) es siempre cero, ya que el seno del ángulo que forman ($0^\circ$ o $180^\circ$) es nulo. ✅ **Resultado (apartado b):** $$\boxed{3\vec{s} \times (\vec{t} - \vec{r}) = \vec{0}}$$