Álgebra 2023 Aragon
Problema de sistema de ecuaciones: Voluntarios de una ONG
7) Una ONG aragonesa de reciente creación tiene tres sedes, una en Huesca, otra en Zaragoza y otra en Teruel. El número total de voluntarios es de 31. Para que Huesca y Zaragoza tuvieran el mismo número de voluntarios tendrían que trasladarse 3 de Huesca a Zaragoza. Además, el número de los voluntarios de la sede de Huesca excede en 1 a la suma de los voluntarios de las otras dos sedes. ¿Cuántos voluntarios hay en cada una de las tres sedes?
Paso 1
Definición de variables y planteamiento del sistema
**7) ¿Cuántos voluntarios hay en cada una de las tres sedes?**
En primer lugar, definimos las variables que representan las incógnitas del problema:
- $x$: número de voluntarios en la sede de **Huesca**.
- $y$: número de voluntarios en la sede de **Zaragoza**.
- $z$: número de voluntarios en la sede de **Teruel**.
A continuación, traducimos las condiciones del enunciado a ecuaciones matemáticas:
1. El número total de voluntarios es 31:
$$x + y + z = 31$$
2. Si se trasladan 3 de Huesca a Zaragoza, ambas tendrían los mismos voluntarios. Al trasladar, Huesca pierde 3 ($x-3$) y Zaragoza gana 3 ($y+3$):
$$x - 3 = y + 3 \implies x - y = 6$$
3. Los voluntarios de Huesca exceden en 1 a la suma de los de Zaragoza y Teruel:
$$x = (y + z) + 1 \implies x - y - z = 1$$
💡 **Tip:** Al plantear problemas de traslados, recuerda restar la cantidad del origen y sumarla en el destino para que el balance sea correcto.
El sistema resultante es:
$$\begin{cases} x + y + z = 31 \\ x - y = 6 \\ x - y - z = 1 \end{cases}$$
Paso 2
Resolución del sistema mediante el método de reducción
Para resolver el sistema, podemos observar que las ecuaciones (1) y (3) tienen coeficientes opuestos para $y$ y $z$.
Sumamos la primera ecuación y la tercera ecuación:
$$(x + y + z) + (x - y - z) = 31 + 1$$
$$2x = 32$$
$$x = \frac{32}{2} = 16$$
Ahora que conocemos $x$, utilizamos la segunda ecuación ($x - y = 6$) para hallar $y$:
$$16 - y = 6$$
$$-y = 6 - 16$$
$$-y = -10 \implies y = 10$$
💡 **Tip:** El método de reducción (o Gauss) es muy eficiente cuando detectamos que al sumar filas se eliminan varias incógnitas simultáneamente.
Paso 3
Cálculo de la última incógnita y comprobación
Finalmente, sustituimos los valores de $x=16$ e $y=10$ en la primera ecuación para calcular $z$:
$$x + y + z = 31$$
$$16 + 10 + z = 31$$
$$26 + z = 31$$
$$z = 31 - 26 = 5$$
**Comprobación de las condiciones:**
- Total: $16 + 10 + 5 = 31$ (Correcto).
- Traslado: $16 - 3 = 13$ y $10 + 3 = 13$ (Correcto).
- Exceso: $16 = (10 + 5) + 1 \implies 16 = 15 + 1$ (Correcto).
✅ **Resultado final:**
$$\boxed{\text{Huesca: 16 voluntarios, Zaragoza: 10 voluntarios, Teruel: 5 voluntarios}}$$