Propiedades de los determinantes y potencias

Para calcular el determinante de la matriz $A$, que es una matriz al cuadrado, utilizaremos la propiedad que establece que el determinante de una potencia es igual a la potencia del determinante. Sea $M = \begin{pmatrix} 4a + 2 & 4b + 4 & 4c + 6 \\ 3a & 3b & 3c \\ a + 4 & b & c + 5 \end{pmatrix}$. Entonces, por definición del enunciado, $A = M^2$. La propiedad que aplicaremos es: $$\det(A) = \det(M^2) = (\det(M))^2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para cualquier matriz cuadrada $M$, se cumple que $|M^n| = |M|^n$. Esto simplifica mucho el problema, ya que primero calcularemos el determinante de la matriz base y luego elevaremos el resultado al cuadrado.

Calculamos el determinante de la matriz $M$ aplicando las propiedades de los determinantes para intentar que se parezca al determinante dado en el enunciado: $$|M| = \begin{vmatrix} 4a + 2 & 4b + 4 & 4c + 6 \\ 3a & 3b & 3c \\ a + 4 & b & c + 5 \end{vmatrix}$$ En la segunda fila ($F_2$), observamos que el número $3$ es un factor común. Podemos extraerlo fuera del determinante: $$|M| = 3 \cdot \begin{vmatrix} 4a + 2 & 4b + 4 & 4c + 6 \\ a & b & c \\ a + 4 & b & c + 5 \end{vmatrix}$$ 💡 **Tip:** Si todos los elementos de una fila o columna de un determinante están multiplicados por un mismo número, dicho número puede salir fuera multiplicando al determinante.

Ahora realizamos operaciones elementales entre filas para simplificar la primera y la tercera fila, utilizando la segunda fila ($a, b, c$). El valor del determinante no varía si a una fila le sumamos una combinación lineal de otras. Realizamos las siguientes operaciones: 1. A la primera fila le restamos 4 veces la segunda: $F_1 \to F_1 - 4F_2$. 2. A la tercera fila le restamos la segunda: $F_3 \to F_3 - F_2$. $$|M| = 3 \cdot \begin{vmatrix} (4a + 2) - 4a & (4b + 4) - 4b & (4c + 6) - 4c \\ a & b & c \\ (a + 4) - a & b - b & (c + 5) - c \end{vmatrix}$$ Operando, el determinante queda: $$|M| = 3 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 4 & 6 \\ a & b & c \\ 4 & 0 & 5 \end{vmatrix}$$ 💡 **Tip:** Sumar o restar a una fila un múltiplo de otra fila no altera el valor del determinante.

En la primera fila actual ($2, 4, 6$), podemos extraer el factor común $2$: $$|M| = 3 \cdot 2 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ a & b & c \\ 4 & 0 & 5 \end{vmatrix} = 6 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ a & b & c \\ 4 & 0 & 5 \end{vmatrix}$$ Para obtener el determinante del enunciado, necesitamos que la fila $(4, 0, 5)$ sea la segunda y la fila $(a, b, c)$ sea la tercera. Intercambiamos $F_2$ por $F_3$, lo cual cambia el signo del determinante: $$|M| = -6 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 0 & 5 \\ a & b & c \end{vmatrix}$$ 💡 **Tip:** Al intercambiar dos filas (o dos columnas) entre sí, el determinante cambia de signo.

Sustituimos el valor del determinante que nos da el enunciado: $\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 0 & 5 \\ a & b & c \end{vmatrix} = \frac{1}{2}$. Por tanto: $$|M| = -6 \cdot \left( \frac{1}{2} \right) = -3$$ Finalmente, calculamos el determinante de la matriz original $A$, que era el cuadrado de $|M|$: $$\det(A) = (|M|)^2 = (-3)^2 = 9$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\det(A) = 9}$$