Discusión de rango e inversión de matrices

**a) (1 punto) Discute el rango de la matriz $A$ según los valores de $m \in \mathbb{R}$.** El rango de una matriz es el orden del mayor menor no nulo. Empezamos calculando el determinante de la matriz $A$ de orden $3 \times 3$ mediante la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & -1 & m \\ 2 & m & m + 2 \\ m - 1 & 2 & 1 \end{vmatrix}$$ $$|A| = [1 \cdot m \cdot 1 + (-1) \cdot (m+2) \cdot (m-1) + 2 \cdot 2 \cdot m] - [(m-1) \cdot m \cdot m + 2 \cdot (m+2) \cdot 1 + 2 \cdot (-1) \cdot 1]$$ Calculamos cada bloque: 1. Términos positivos: $m - (m^2 - 1) + 4m = 5m - m^2 + 1$. 2. Términos negativos: $[m^2(m-1) + 2m + 4 - 2] = m^3 - m^2 + 2m + 2$. Restamos: $$|A| = (-m^2 + 5m + 1) - (m^3 - m^2 + 2m + 2)$$ $$|A| = -m^2 + 5m + 1 - m^3 + m^2 - 2m - 2 = -m^3 + 3m - 1$$ *Nota: Revisando operaciones paso a paso con cuidado:* $|A| = (m) + (-(m^2+m-2)) + (4m) - (m^3-m^2 + 2m+4 - 2)$ $|A| = m - m^2 - m + 2 + 4m - (m^3 - m^2 + 2m + 2)$ $|A| = -m^2 + 4m + 2 - m^3 + m^2 - 2m - 2 = -m^3 + 2m$. 💡 **Tip:** Aplica la regla de Sarrus con cuidado, multiplicando las diagonales principales y restando el producto de las secundarias. $$\boxed{|A| = -m^3 + 2m}$$

Para discutir el rango, buscamos los valores de $m$ que hacen que $|A| = 0$: $$-m^3 + 2m = 0 \implies -m(m^2 - 2) = 0$$ Esto nos da tres soluciones posibles: 1. $m = 0$ 2. $m^2 - 2 = 0 \implies m = \sqrt{2}$ 3. $m = -\sqrt{2}$ 💡 **Tip:** Factorizar el polinomio nos permite encontrar las raíces de forma mucho más sencilla que usar otros métodos.

Analizamos los diferentes casos: **Caso 1: $m \neq 0, m \neq \sqrt{2}, m \neq -\sqrt{2}$** En este caso, $|A| \neq 0$. Por lo tanto, el mayor menor no nulo es de orden 3. $$\text{rg}(A) = 3$$ **Caso 2: $m = 0, m = \sqrt{2}$ o $m = -\sqrt{2}$** En estos casos, $|A| = 0$, por lo que $\text{rg}(A) \lt 3$. Debemos comprobar si existe algún menor de orden 2 distinto de cero. Probamos con el menor formado por las dos primeras filas y columnas: $$M_2 = \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 2 & m \end{vmatrix} = m + 2$$ - Si $m=0$, $M_2 = 2 \neq 0$. - Si $m=\sqrt{2}$, $M_2 = \sqrt{2} + 2 \neq 0$. - Si $m=-\sqrt{2}$, $M_2 = -\sqrt{2} + 2 \neq 0$. Como en todos estos casos críticos existe al menos un menor de orden 2 no nulo, el rango es 2. ✅ **Resultado (Discusión):** $$\boxed{\begin{cases} \text{Si } m \in \mathbb{R} \setminus \{0, \sqrt{2}, -\sqrt{2}\}, & \text{rg}(A) = 3 \\ \text{Si } m \in \{0, \sqrt{2}, -\sqrt{2}\}, & \text{rg}(A) = 2 \end{cases}}$$

**b) (1 punto) Calcula la inversa de la matriz $A$ para el valor $m = 1$.** Primero, sustituimos $m = 1$ en la matriz $A$: $$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}$$ Calculamos el determinante para este valor usando la expresión obtenida en el apartado anterior: $$|A| = -(1)^3 + 2(1) = -1 + 2 = 1$$ Como $|A| \neq 0$, la matriz tiene inversa. 💡 **Tip:** La fórmula de la matriz inversa es $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)^t$.

Calculamos los adjuntos $C_{ij}$ de cada elemento de la matriz $A$: $C_{11} = +\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 6 = -5$ $C_{12} = -\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -(2 - 0) = -2$ $C_{13} = +\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = 4 - 0 = 4$ $C_{21} = -\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = -(-1 - 2) = 3$ $C_{22} = +\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 0 = 1$ $C_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = -(2 - 0) = -2$ $C_{31} = +\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = -3 - 1 = -4$ $C_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = -(3 - 2) = -1$ $C_{33} = +\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 1 - (-2) = 3$ La matriz de adjuntos es: $$\text{adj}(A) = \begin{pmatrix} -5 & -2 & 4 \\ 3 & 1 & -2 \\ -4 & -1 & 3 \end{pmatrix}$$

Transponemos la matriz de adjuntos: $$\text{adj}(A)^t = \begin{pmatrix} -5 & 3 & -4 \\ -2 & 1 & -1 \\ 4 & -2 & 3 \end{pmatrix}$$ Como $|A| = 1$, la matriz inversa coincide con la adjunta traspuesta: $$A^{-1} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} -5 & 3 & -4 \\ -2 & 1 & -1 \\ 4 & -2 & 3 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado (Matriz inversa):** $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} -5 & 3 & -4 \\ -2 & 1 & -1 \\ 4 & -2 & 3 \end{pmatrix}}$$