Estudio completo de una función racional: monotonía, curvatura y puntos de inflexión

**a) (1 punto) Indica el dominio de definición y estudia su monotonía.** El dominio de una función racional está formado por todos los números reales excepto aquellos que anulan el denominador. Resolvemos la ecuación del denominador: $$x^2 - 2x + 1 = 0$$ Observamos que es una identidad notable: $(x - 1)^2 = 0$. Por tanto, el único valor que anula el denominador es $x = 1$. 💡 **Tip:** Siempre que veas un trinomio de la forma $x^2 \pm 2ax + a^2$, recuerda que es $(x \pm a)^2$. $$\boxed{\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{1\}}$$

Para estudiar la monotonía, primero simplificamos la expresión de la función para derivar con mayor facilidad: $$f(x) = \frac{x^2}{(x-1)^2}$$ Calculamos la primera derivada $f'(x)$ aplicando la regla del cociente: $$f'(x) = \frac{2x \cdot (x-1)^2 - x^2 \cdot 2(x-1)}{(x-1)^4}$$ Podemos simplificar un factor $(x-1)$ en el numerador y el denominador: $$f'(x) = \frac{2x(x-1) - 2x^2}{(x-1)^3} = \frac{2x^2 - 2x - 2x^2}{(x-1)^3} = \frac{-2x}{(x-1)^3}$$ Igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos: $$f'(x) = 0 \implies -2x = 0 \implies x = 0$$ 💡 **Tip:** Al derivar funciones racionales, intenta simplificar factores comunes entre el numerador y el denominador antes de desarrollar todo el numerador.

Analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por el punto crítico ($x=0$) y el punto de discontinuidad ($x=1$): $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty, 0) & 0 & (0, 1) & 1 & (1, +\infty) \\\hline -2x & + & 0 & - & - & - \\ (x-1)^3 & - & - & - & 0 & + \\\hline f'(x) & - & 0 & + & \nexists & - \\ \text{Función} & \searrow & \text{Mín} & \nearrow & \nexists & \searrow \end{array}$$ **Interpretación:** - La función es **decreciente** en $(-\infty, 0) \cup (1, +\infty)$. - La función es **creciente** en $(0, 1)$. - Existe un **mínimo relativo** en $x = 0$. Calculamos su ordenada: $f(0) = \frac{0^2}{(0-1)^2} = 0$. $$\boxed{\text{Crecimiento: } (0, 1); \quad \text{Decrecimiento: } (-\infty, 0) \cup (1, +\infty)}$$

**b) (1 punto) Estudia la curvatura de la función (concavidad = $\cap$ y convexidad = $\cup$) e indica la existencia de puntos de inflexión, y calcúlalos si existen.** Partimos de $f'(x) = \frac{-2x}{(x-1)^3}$ y derivamos de nuevo: $$f''(x) = \frac{-2(x-1)^3 - (-2x) \cdot 3(x-1)^2}{(x-1)^6}$$ Simplificamos un factor $(x-1)^2$: $$f''(x) = \frac{-2(x-1) + 6x}{(x-1)^4} = \frac{-2x + 2 + 6x}{(x-1)^4} = \frac{4x + 2}{(x-1)^4}$$ Buscamos los posibles puntos de inflexión haciendo $f''(x) = 0$: $$4x + 2 = 0 \implies x = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el signo del denominador $(x-1)^4$ siempre es positivo en todo el dominio, por lo que el signo de $f''(x)$ dependerá exclusivamente del numerador $4x+2$.

Analizamos el signo de $f''(x)$ en los intervalos definidos por $x = -1/2$ y el punto de exclusión del dominio $x = 1$: $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty, -1/2) & -1/2 & (-1/2, 1) & 1 & (1, +\infty) \\\hline 4x+2 & - & 0 & + & + & + \\ (x-1)^4 & + & + & + & 0 & + \\\hline f''(x) & - & 0 & + & \nexists & + \\ \text{Curvatura} & \cap & \text{P.I.} & \cup & \nexists & \cup \end{array}$$ **Interpretación:** - La función es **cóncava ($\cap$)** en $(-\infty, -1/2)$. - La función es **convexa ($\cup$)** en $(-1/2, 1) \cup (1, +\infty)$. Existe un **punto de inflexión** en $x = -1/2$ porque hay un cambio de curvatura y la función es continua en ese punto. Calculamos su ordenada: $$f(-1/2) = \frac{(-1/2)^2}{(-1/2 - 1)^2} = \frac{1/4}{(-3/2)^2} = \frac{1/4}{9/4} = \frac{1}{9}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Punto de Inflexión: } \left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{9}\right)}$$ "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "f", "latex": "f(x) = \\frac{x^2}{x^2 - 2x + 1}", "color": "#2563eb" }, { "id": "min", "latex": "(0,0)", "color": "#ef4444", "label": "Mínimo" }, { "id": "pi", "latex": "(-0.5, 0.111)", "color": "#16a34a", "label": "Punto de Inflexión" }, { "id": "asintota", "latex": "x=1", "lineStyle": "DASHED", "color": "#374151" } ], "bounds": { "left": -5, "right": 5, "bottom": -1, "top": 10 } } }