Descomposición óptima y suma de logaritmos

**3) Descompón el número $\sqrt{3}$ en dos sumandos positivos, de forma que la suma de sus respectivos logaritmos en base 3 sea máxima y calcula esta suma de forma exacta.** Sean $x$ e $y$ los dos sumandos positivos. Según el enunciado, su suma debe ser $\sqrt{3}$: $$x + y = \sqrt{3} \implies y = \sqrt{3} - x$$ Como ambos deben ser positivos ($x > 0, y > 0$), el dominio de nuestra variable $x$ será: $$0 < x < \sqrt{3}$$ La función que queremos maximizar es la suma de sus logaritmos en base 3: $$S(x) = \log_3(x) + \log_3(y)$$ Sustituyendo $y$, obtenemos la función en términos de $x$: $$S(x) = \log_3(x) + \log_3(\sqrt{3} - x)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para que un logaritmo exista, su argumento debe ser estrictamente mayor que cero. Esto define el intervalo de estudio $(0, \sqrt{3})$.

Para facilitar la derivación, aplicamos la propiedad del logaritmo de un producto: $\log_a(A) + \log_a(B) = \log_a(A \cdot B)$. $$S(x) = \log_3\left( x \cdot (\sqrt{3} - x) \right) = \log_3(\sqrt{3}x - x^2)$$ Como la función logaritmo en base $a > 1$ (en este caso $a=3$) es estrictamente creciente, el máximo de $S(x)$ coincidirá con el máximo del argumento del logaritmo. Definimos: $$f(x) = \sqrt{3}x - x^2$$ 💡 **Tip:** Maximizar $\log(f(x))$ es equivalente a maximizar $f(x)$ siempre que el logaritmo sea de base mayor que 1 y el argumento sea positivo.

Calculamos la derivada de $f(x) = \sqrt{3}x - x^2$ e igualamos a cero para encontrar los puntos críticos: $$f'(x) = \sqrt{3} - 2x$$ Igualamos a cero: $$\sqrt{3} - 2x = 0 \implies 2x = \sqrt{3} \implies x = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ Este valor pertenece al dominio $(0, \sqrt{3})$ ya que $\frac{\sqrt{3}}{2} < \sqrt{3}$. $$\boxed{x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}}$$

Analizamos el signo de $f'(x) = \sqrt{3} - 2x$ en el dominio para confirmar que se trata de un máximo relativo: $$ \begin{array}{c|ccc} x & (0, \frac{\sqrt{3}}{2}) & \frac{\sqrt{3}}{2} & (\frac{\sqrt{3}}{2}, \sqrt{3}) \\\hline f'(x) & + & 0 & - \\\hline f(x) & \nearrow & \text{Máximo} & \searrow \end{array} $$ Justificación por la segunda derivada: $$f''(x) = -2$$ Como $f''\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -2 < 0$, confirmamos que en $x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ hay un **máximo relativo**. 💡 **Tip:** En una función cuadrática con coeficiente principal negativo, el vértice siempre representa el valor máximo absoluto de la parábola.

Calculamos el segundo sumando $y$: $$y = \sqrt{3} - x = \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ Ahora calculamos el valor de la suma de los logaritmos de forma exacta: $$S_{máx} = S\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \log_3\left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) + \log_3\left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = 2 \log_3\left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$$ Operamos usando propiedades de logaritmos: $$S_{máx} = \log_3\left[ \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 \right] = \log_3\left( \frac{3}{4} \right)$$ $$S_{máx} = \log_3(3) - \log_3(4) = 1 - \log_3(4)$$ ✅ **Resultado final:** Los sumandos son $\boxed{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}$ y $\boxed{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}$. La suma máxima exacta es $\boxed{1 - \log_3(4)}$ o $\boxed{\log_3\left(\dfrac{3}{4}\right)}$.